Ejercicio - Proyección ortogonal

Solución: Queremos hallar la proyección ortogonal del punto \( A = (5, -2, -3) \) sobre el plano \[ \pi: 2x + y - 2z + 4 = 0 \] \( \textbf{1. Recta perpendicular al plano que pasa por el punto } A \) El vector director de la recta perpendicular al plano es el vector normal del plano: \[ \vec{n}_\pi = (2, 1, -2) \] La recta perpendicular al plano que pasa por \( A \) tiene ecuaciones paramétricas: \[ s: \begin{cases} x = 5 + 2\lambda \\ y = -2 + \lambda \\ z = -3 - 2\lambda \end{cases} \] \( \textbf{2. Intersección entre la recta y el plano (proyección)} \) Sustituimos las expresiones paramétricas en la ecuación del plano: \[ 2(5 + 2\lambda) + (-2 + \lambda) - 2(-3 - 2\lambda) + 4 = 0 \] \[ 10 + 4\lambda - 2 + \lambda + 6 + 4\lambda + 4 = 0 \Rightarrow 18 + 9\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -2 \] \( \textbf{3. Sustituimos el valor de } \lambda \textbf{ en la recta para obtener el punto proyectado} \) \[ x = 5 + 2(-2) = 5 - 4 = 1 \] \[ y = -2 + (-2) = -4 \] \[ z = -3 - 2(-2) = -3 + 4 = 1 \] \( \textbf{Resultado final:} \) La proyección ortogonal del punto \( A \) sobre el plano \( \pi \) es: \[ \boxed{(1, -4, 1)} \]