Ejercicio - Proyección ortogonal

Solución: Queremos hallar la proyección de la recta \[ r: -x + 2 = \frac{y - 3}{2} = 3z + 1 \] sobre el plano \( \pi: x + y + 2z - 2 = 0 \). \( \textbf{1. Ecuaciones paramétricas de la recta } r \) Llamamos \( \lambda \) al parámetro de la recta: \[ \begin{cases} x = 2 - \lambda \\ y = 3 + 2\lambda \\ z = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} \lambda \end{cases} \] Vector director de la recta: \[ \vec{v}_r = (-1, 2, \frac{1}{3}) \] Vector normal del plano: \[ \vec{n}_\pi = (1, 1, 2) \] Como \( \vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi \neq 0 \), la recta y el plano son secantes. \( \textbf{2. Punto de intersección de la recta y el plano} \) Sustituimos las expresiones paramétricas en la ecuación del plano: \[ x + y + 2z - 2 = (2 - \lambda) + (3 + 2\lambda) + 2\left( -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} \lambda \right) - 2 = 0 \] \[ 5 + \lambda - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \lambda - 2 = 0 \Rightarrow 3 + \frac{5}{3} \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{9}{5} \] Sustituyendo en la recta: \[ x = 2 - \left( -\frac{7}{5} \right) = \frac{17}{5}, \quad y = 3 + 2 \cdot \left( -\frac{7}{5} \right) = \frac{1}{5}, \quad z = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \left( -\frac{7}{5} \right) = -\frac{4}{5} \] Punto de intersección \( A = \left( \frac{17}{5}, \frac{1}{5}, -\frac{4}{5} \right) \) \( \textbf{3. Recta perpendicular al plano que pasa por un punto de } r \) Tomamos \( \lambda = 0 \) en la recta \( r \): \[ P_r = (2, 3, -\frac{1}{3}) \] La recta perpendicular al plano que pasa por \( P_r \) tiene vector director igual al normal del plano: \[ \vec{v}_s = (1, 1, 2) \] Ecuaciones paramétricas: \[ \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 3 + \lambda \\ z = -\frac{1}{3} + 2\lambda \end{cases} \] Sustituimos en la ecuación del plano para hallar la intersección: \[ (2 + \lambda) + (3 + \lambda) + 2 \left( -\frac{1}{3} + 2\lambda \right) - 2 = 0 \Rightarrow 5 + 2\lambda - \frac{2}{3} + 4\lambda - 2 = 0 \Rightarrow 3 + 6\lambda - \frac{2}{3} = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{7}{18} \] Sustituimos para hallar el punto: \[ x = 2 - \frac{7}{18} = \frac{29}{18}, \quad y = 3 - \frac{7}{18} = \frac{47}{18}, \quad z = -\frac{1}{3} + 2 \cdot \left( -\frac{7}{18} \right) = -\frac{10}{9} \] Punto \( B = \left( \frac{29}{18}, \frac{47}{18}, -\frac{10}{9} \right) \) \( \textbf{4. Proyección de la recta sobre el plano} \) La proyección es la recta que pasa por los puntos \( A \) y \( B \). \[ \vec{AB} = B - A = \left( \frac{29}{18}, \frac{47}{18}, -\frac{10}{9} \right) - \left( \frac{17}{5}, \frac{1}{5}, -\frac{4}{5} \right) = \left( -\frac{161}{90}, \frac{217}{90}, -\frac{14}{15} \right) \] Multiplicamos por 90 para tener componentes enteros: \[ \vec{v}_{\text{proy}} = (-23, 31, -12) \] Entonces, la recta proyectada es: \[ r': \begin{cases} x = \frac{17}{5} - 23\lambda \\ y = \frac{1}{5} + 31\lambda \\ z = -\frac{4}{5} - 12\lambda \end{cases} \]