Ejercicio resuelto de Simetrías (2 de 3)

Solución: Queremos hallar el punto simétrico de \( A(2, 1, 0) \) respecto a la recta: \[ \frac{x}{2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z - 2}{1} \] \( \textbf{1. Plano perpendicular a la recta que pasa por } A \) El vector director de la recta es \( \vec{v}_r = (2, -1, 1) \), que será el vector normal del plano perpendicular que buscamos. La ecuación general del plano perpendicular que pasa por \( A(2, 1, 0) \) es: \[ \pi: 2x - y + z + D = 0 \] Sustituimos el punto \( A \) para hallar \( D \): \[ 2 \cdot 2 - 1 + 0 + D = 0 \Rightarrow 4 - 1 + D = 0 \Rightarrow D = -3 \] Entonces el plano es: \[ \pi: 2x - y + z - 3 = 0 \] \( \textbf{2. Punto de intersección entre la recta y el plano (proyección ortogonal)} \) Tomamos las ecuaciones paramétricas de la recta. A partir de su forma continua: \[ \frac{x}{2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z - 2}{1} = \lambda \Rightarrow \begin{cases} x = 2\lambda \\ y = 3 - \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases} \] Sustituimos en la ecuación del plano: \[ 2(2\lambda) - (3 - \lambda) + (2 + \lambda) - 3 = 0 \Rightarrow 4\lambda - 3 + \lambda + 2 + \lambda - 3 = 0 \Rightarrow 6\lambda - 4 = 0 \Rightarrow \lambda = 2 \] Sustituimos para obtener las coordenadas del punto de intersección \( O \): \[ x = 2 \cdot 2 = 4, \quad y = 3 - 2 = 1, \quad z = 2 + 2 = 4 \Rightarrow O = (4, 1, 0) \] \( \textbf{3. Cálculo del punto simétrico} \) El punto simétrico se obtiene por: \[ A' = 2 \cdot O - A = 2 \cdot (4, 1, 0) - (2, 1, 0) = (8, 2, 0) - (2, 1, 0) = (6, 1, 0) \] \( \textbf{Resultado final:} \) \[ \boxed{A' = (6, 1, 0)} \]