Ejercicio - Distribución de probabilidad discreta

Solución: Se nos da la función de probabilidad \( f(x) = P(X = x) \) de una variable aleatoria discreta \( X \). Los valores que puede tomar \( X \) son: \[ X = \{1, 2, 3, 4\} \] y sus respectivas probabilidades son: \[ f(1) = \frac{1}{10}, \quad f(2) = \frac{2}{10}, \quad f(3) = \frac{3}{10}, \quad f(4) = \frac{4}{10} \] A partir de esta información, construimos la tabla de la función de probabilidad: \[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & P(X = x) \\ \hline 1 & \frac{1}{10} \\ 2 & \frac{2}{10} \\ 3 & \frac{3}{10} \\ 4 & \frac{4}{10} \\ \hline \end{array} \] Ahora, calculamos la función de distribución acumulada \( F(x) = P(X \leq x) \): \[ F(x) = \begin{cases} 0 & x < 1 \\ 0{,}1 & 1 \leq x < 2 \\ 0{,}3 & 2 \leq x < 3 \\ 0{,}6 & 3 \leq x < 4 \\ 1 & x \geq 4 \\ \end{cases} \] La función de distribución acumula las probabilidades de todos los valores de \( X \) menores o iguales a \( x \).

Solución: Se nos pide calcular distintas probabilidades a partir de la función de distribución acumulada \( F(x) \). \( \textbf{1. } P(X > 2) \) Sabemos que: \[ P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) \] De la tabla de distribución: \[ P(X \leq 2) = F(2) = 0{,}3 \Rightarrow P(X > 2) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7 \] \( \textbf{2. } P(X \leq 3) \) Por definición de la función de distribución acumulada: \[ P(X \leq 3) = F(3) = 0{,}6 \] \( \textbf{3. } P(1 < X \leq 3) \) Aplicamos la fórmula: \[ P(1 < X \leq 3) = P(X \leq 3) - P(X \leq 1) \] De la tabla: \[ P(X \leq 3) = 0{,}6, \quad P(X \leq 1) = 0{,}1 \Rightarrow P(1 < X \leq 3) = 0{,}6 - 0{,}1 = 0{,}5 \]

Solución: \textbf{1. Cálculo de la esperanza matemática } \( \mu = \mathbb{E}(X) \) \[ \mu = \sum x_i \cdot P(X = x_i) = 1 \cdot \frac{1}{10} + 2 \cdot \frac{2}{10} + 3 \cdot \frac{3}{10} + 4 \cdot \frac{4}{10} \] \[ \mu = \frac{1}{10} + \frac{4}{10} + \frac{9}{10} + \frac{16}{10} = \frac{30}{10} = 3 \] \textbf{2. Cálculo de la varianza } \( \sigma^2 = \mathbb{V}(X) \) \[ \sigma^2 = \sum x_i^2 \cdot P(X = x_i) - \mu^2 \] \[ \sigma^2 = 1^2 \cdot \frac{1}{10} + 2^2 \cdot \frac{2}{10} + 3^2 \cdot \frac{3}{10} + 4^2 \cdot \frac{4}{10} - 3^2 \] \[ \sigma^2 = \frac{1}{10} + \frac{8}{10} + \frac{27}{10} + \frac{64}{10} - 9 = \frac{100}{10} - 9 = 10 - 9 = 1 \] \[ \boxed{\mu = 3}, \quad \boxed{\sigma^2 = 1} \]

Solución: Queremos calcular la probabilidad: \[ P(X > 40) \] Sabemos que los valores posibles de \( X \) son: \( 30, 40, 50, 60 \), con probabilidades: \[ P(X = 30) = 0{,}4, \quad P(X = 40) = 0{,}2, \quad P(X = 50) = 0{,}1, \quad P(X = 60) = 0{,}3 \] Por tanto: \[ P(X > 40) = P(X = 50) + P(X = 60) = 0{,}1 + 0{,}3 = \boxed{0{,}4} \]