Ejercicio resuelto de Distribución binomial (1 de 2)

Solución: Sea \( X \) la variable aleatoria que cuenta el número de hembras en una camada de 6 cachorros. La probabilidad de que un cachorro sea hembra es \( p = 0{,}45 \), y por tanto la de que sea macho es: \[ q = 1 - p = 1 - 0{,}45 = 0{,}55 \] Número total de intentos (cachorros): \( n = 6 \) Queremos calcular la probabilidad de que haya exactamente 2 hembras, es decir: \[ P(X = 2) \] Usamos la fórmula de la distribución binomial: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] Sustituimos los valores: \[ P(X = 2) = \binom{6}{2} \cdot (0{,}45)^2 \cdot (0{,}55)^4 \] \[ P(X = 2) = 15 \cdot 0{,}2025 \cdot 0{,}0915 = 0{,}2780 \] \[ \boxed{P(X = 2) = 0{,}2780} \]

Solución: Queremos calcular la probabilidad de que haya al menos dos hembras, es decir: \[ P(X \geq 2) \] Esto es equivalente a: \[ P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] \] Aplicamos la fórmula de la distribución binomial para cada término: \[ P(X = 0) = \binom{6}{0} \cdot (0{,}45)^0 \cdot (0{,}55)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}0552 = 0{,}0277 \] \[ P(X = 1) = \binom{6}{1} \cdot (0{,}45)^1 \cdot (0{,}55)^5 = 6 \cdot 0{,}45 \cdot 0{,}0901 = 0{,}1359 \] Entonces: \[ P(X \geq 2) = 1 - (0{,}0277 + 0{,}1359) = 1 - 0{,}1636 = \boxed{0{,}8364} \]