Ejercicio - Distribución binomial
Ejercicio de Distribución de probabilidad
\( \textbf{Ejercicio.} \) Una raza de perros determinada tiene seis cachorros en cada camada. Si la probabilidad de que un cachorro sea macho es de \( 0{,}55 \), encuentra:
a) La probabilidad de que dos cachorros sean hembras.
b) La probabilidad de que, al menos, dos sean hembras.
Solución de los Apartados
a) La probabilidad de que dos cachorros sean hembras.
Solución: Sea \( X \) la variable aleatoria que cuenta el número de hembras en una camada de 6 cachorros. La probabilidad de que un cachorro sea hembra es \( p = 0{,}45 \), y por tanto la de que sea macho es: \[ q = 1 - p = 1 - 0{,}45 = 0{,}55 \] Número total de intentos (cachorros): \( n = 6 \) Queremos calcular la probabilidad de que haya exactamente 2 hembras, es decir: \[ P(X = 2) \] Usamos la fórmula de la distribución binomial: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] Sustituimos los valores: \[ P(X = 2) = \binom{6}{2} \cdot (0{,}45)^2 \cdot (0{,}55)^4 \] \[ P(X = 2) = 15 \cdot 0{,}2025 \cdot 0{,}0915 = 0{,}2780 \] \[ \boxed{P(X = 2) = 0{,}2780} \]
b) La probabilidad de que, al menos, dos sean hembras.
Solución: Queremos calcular la probabilidad de que haya al menos dos hembras, es decir: \[ P(X \geq 2) \] Esto es equivalente a: \[ P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] \] Aplicamos la fórmula de la distribución binomial para cada término: \[ P(X = 0) = \binom{6}{0} \cdot (0{,}45)^0 \cdot (0{,}55)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}0552 = 0{,}0277 \] \[ P(X = 1) = \binom{6}{1} \cdot (0{,}45)^1 \cdot (0{,}55)^5 = 6 \cdot 0{,}45 \cdot 0{,}0901 = 0{,}1359 \] Entonces: \[ P(X \geq 2) = 1 - (0{,}0277 + 0{,}1359) = 1 - 0{,}1636 = \boxed{0{,}8364} \]