Ejercicio resuelto de Distribución binomial (2 de 2)
Distribución de probabilidad · Matemáticas · Selectividad (PAU/EBAU)
\( \textbf{Ejercicio.} \) Una encuesta revela que el \( 20\% \) de la población tiene la intención de votar a un determinado político. Una vez elegidas seis personas al azar, queremos saber la probabilidad de que:
a) Las seis personas tengan la intención de votarle.
b) Ninguna de las seis tenga intención de votarle.
c) Exactamente dos personas tengan intención de votarle.
Solución paso a paso
a) Las seis personas tengan la intención de votarle.
Solución: Queremos calcular la probabilidad de que las seis personas seleccionadas tengan intención de votar al político. Sea \( X \) la variable aleatoria que cuenta cuántas personas tienen esa intención. Tenemos: \[ p = 0{,}2 \quad (\text{probabilidad de que una persona quiera votarlo}), \quad q = 1 - p = 0{,}8 \] \[ n = 6, \quad i = 6 \] Aplicamos la fórmula de la distribución binomial: \[ P(X = 6) = \binom{6}{6} \cdot (0{,}2)^6 \cdot (0{,}8)^0 \] \[ P(X = 6) = 1 \cdot 0{,}000064 \cdot 1 = \boxed{0{,}000064} \]
b) Ninguna de las seis tenga intención de votarle.
Solución: Queremos calcular la probabilidad de que ninguna de las seis personas tenga intención de votar al político. Esto equivale a: \[ P(X = 0) \] Donde: \[ p = 0{,}2 \quad (\text{probabilidad de intención de voto}) \quad \Rightarrow \quad q = 1 - p = 0{,}8 \] \[ n = 6, \quad i = 0 \] Aplicamos la fórmula de la distribución binomial: \[ P(X = 0) = \binom{6}{0} \cdot (0{,}2)^0 \cdot (0{,}8)^6 \] \[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}262144 = \boxed{0{,}2621} \]
c) Exactamente dos personas tengan intención de votarle.
Solución: Queremos calcular la probabilidad de que exactamente dos personas de las seis tengan intención de votar al político: \[ P(X = 2) \] Sabemos que: \[ p = 0{,}2, \quad q = 1 - p = 0{,}8, \quad n = 6, \quad i = 2 \] Aplicamos la fórmula de la distribución binomial: \[ P(X = 2) = \binom{6}{2} \cdot (0{,}2)^2 \cdot (0{,}8)^4 \] Calculamos cada parte: \[ \binom{6}{2} = 15, \quad (0{,}2)^2 = 0{,}04, \quad (0{,}8)^4 = 0{,}4096 \] Entonces: \[ P(X = 2) = 15 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}4096 = \boxed{0{,}2458} \]