Ejercicio - Intensidad de campo eléctrico

Solución: Si la carga que colocamos queda en reposo, la fuerza neta que actúa sobre ella debe ser nula. Por tanto, también lo será el campo eléctrico resultante en ese punto. Como ambas cargas son positivas, los campos eléctricos que generan apuntan en sentidos contrarios en cualquier punto de la recta que las une. El único lugar en el que pueden anularse es en un punto entre ellas. Planteamos que en dicho punto el campo creado por una carga es igual en módulo al campo creado por la otra: \[ E_1 = E_2 \quad \Rightarrow \quad k \frac{q_1}{r_1^2} = k \frac{q_2}{r_2^2} \] Donde: \[ r_1 = \text{distancia del punto a la carga } q_1, \quad r_2 = \text{distancia del punto a la carga } q_2 \] Como ambas cargas están separadas por \( 1\,\text{m} \), se cumple que: \[ r_2 = 1 - r_1 \] Sustituimos esta relación en la igualdad de campos: \[ \frac{q_1}{r_1^2} = \frac{q_2}{(1 - r_1)^2} \] Multiplicamos en cruz: \[ q_1 (1 - r_1)^2 = q_2 r_1^2 \] Desarrollamos esta ecuación para despejar \( r_1 \). Para simplificar, definimos la razón de cargas: \[ \frac{q_2}{q_1} = \left( \frac{1 - r_1}{r_1} \right)^2 \quad \Rightarrow \quad \frac{1 - r_1}{r_1} = \sqrt{\frac{q_2}{q_1}} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{r_1} - 1 = \sqrt{\frac{q_2}{q_1}} \] \[ \frac{1}{r_1} = 1 + \sqrt{\frac{q_2}{q_1}} \quad \Rightarrow \quad r_1 = \frac{1}{1 + \sqrt{\frac{q_2}{q_1}}} \] Sustituimos los valores dados: \[ q_1 = 0{,}1\,\mu C, \quad q_2 = 0{,}3\,\mu C \quad \Rightarrow \quad \sqrt{\frac{q_2}{q_1}} = \sqrt{\frac{0{,}3}{0{,}1}} = \sqrt{3} \] \[ r_1 = \frac{1}{1 + \sqrt{3}} \approx 0{,}37\,\text{m} \] Por tanto, la tercera carga debe colocarse a una distancia de aproximadamente \( 0{,}37\,\text{m} \) de la carga de \( 0{,}1\,\mu C \), entre ambas.

Solución: Nos preguntamos si el resultado obtenido en el apartado anterior cambiaría si las cargas estuvieran en un medio con permitividad relativa \( \varepsilon_r = 2 \). Sabemos que el campo eléctrico generado por una carga puntual en un medio con permitividad relativa \( \varepsilon_r \) está dado por: \[ E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \cdot \frac{q}{r^2} \] La constante \( k \) del vacío se ve modificada en el medio por: \[ k' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \] Pero en la ecuación de equilibrio de campos: \[ k \frac{q_1}{r_1^2} = k \frac{q_2}{r_2^2} \] el valor de \( k \) (o \( k' \)) aparece en ambos lados de la igualdad, y por tanto se cancela: \[ \frac{q_1}{r_1^2} = \frac{q_2}{r_2^2} \] Esto implica que la posición del punto de equilibrio **no depende de la constante de proporcionalidad \( k \)**, y por tanto **no depende de la permitividad del medio**. \[ \text{El resultado no cambia al variar } \varepsilon_r \] \[ \Rightarrow \text{La posición de equilibrio de la tercera carga será la misma.} \]