Ejercicio - Intensidad de campo eléctrico

Solución: Tenemos dos cargas positivas: \[ q_1 = 10\,\text{nC}, \quad q_2 = 5\,\text{nC} \] separadas por una distancia de \( 10\,\text{cm} = 0{,}1\,\text{m} \). Como ambas cargas son positivas, los campos eléctricos que generan en el espacio apuntan en sentidos opuestos únicamente en la región intermedia entre ellas. Por tanto, si existe un punto donde se anula el campo, debe encontrarse entre las dos cargas. Igualamos los módulos de los campos eléctricos que generan en ese punto: \[ E_1 = E_2 \quad \Rightarrow \quad k \frac{q_1}{r_1^2} = k \frac{q_2}{r_2^2} \quad \Rightarrow \quad r_2^2 q_1 = r_1^2 q_2 \] Dado que la distancia total entre ambas cargas es \( 0{,}1\,\text{m} \), se cumple: \[ r_2 = 0{,}1 - r_1 \] Sustituimos en la ecuación anterior: \[ (0{,}1 - r_1)^2 q_1 = r_1^2 q_2 \] Tomamos la raíz cuadrada en ambos miembros: \[ 0{,}1 - r_1 = r_1 \sqrt{\frac{q_2}{q_1}} \quad \Rightarrow \quad \frac{0{,}1}{1 + \sqrt{\frac{q_2}{q_1}}} = r_1 \] Sustituimos los valores: \[ q_1 = 10, \quad q_2 = 5 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{\frac{5}{10}} = \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}707 \] \[ r_1 = \frac{0{,}1}{1 + 0{,}707} \approx \frac{0{,}1}{1{,}707} \approx 0{,}0586\,\text{m} \approx 5{,}86\,\text{cm} \] Por tanto, el campo eléctrico se anula a una distancia de aproximadamente \( 5{,}86\,\text{cm} \) de la carga de \( 10\,\text{nC} \), es decir, en la zona intermedia entre ambas.

Solución: Ahora consideramos que la segunda carga es negativa: \[ q_1 = 10\,\text{nC}, \quad q_2 = -5\,\text{nC} \] Como las cargas tienen signos opuestos, los campos eléctricos generados por ambas cargas pueden anularse únicamente en las regiones exteriores, es decir: - A la izquierda de \( q_1 \) - A la derecha de \( q_2 \) Sin embargo, como \( |q_1| > |q_2| \), la única zona donde los campos pueden tener la misma dirección (y por tanto anularse en módulo) es **a la derecha de \( q_2 \)**. Planteamos la situación en esa región. Sea \( r_2 \) la distancia desde \( q_2 \) al punto donde se anulan los campos. Entonces: \[ r_1 = 0{,}1 + r_2 \] Aplicamos la condición de anulación de campos (trabajando con valores absolutos de las cargas, ya que el signo se refleja en la dirección del campo): \[ k \frac{q_1}{r_1^2} = k \frac{|q_2|}{r_2^2} \quad \Rightarrow \quad r_2^2 q_1 = r_1^2 |q_2| \] Sustituimos \( r_1 = 0{,}1 + r_2 \): \[ r_2^2 q_1 = (0{,}1 + r_2)^2 |q_2| \] Despejamos \( r_2 \). Tomamos la raíz cuadrada en ambos miembros: \[ r_2 \sqrt{q_1} = (0{,}1 + r_2) \sqrt{|q_2|} \] \[ \Rightarrow \quad r_2 \sqrt{q_1} = 0{,}1 \sqrt{|q_2|} + r_2 \sqrt{|q_2|} \] \[ \Rightarrow \quad r_2 (\sqrt{q_1} - \sqrt{|q_2|}) = 0{,}1 \sqrt{|q_2|} \] \[ \Rightarrow \quad r_2 = \frac{0{,}1 \sqrt{|q_2|}}{\sqrt{q_1} - \sqrt{|q_2|}} \] Sustituimos los valores: \[ q_1 = 10, \quad |q_2| = 5 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{10} \approx 3{,}162, \quad \sqrt{5} \approx 2{,}236 \] \[ r_2 = \frac{0{,}1 \cdot 2{,}236}{3{,}162 - 2{,}236} \approx \frac{0{,}2236}{0{,}926} \approx 0{,}2414\,\text{m} \] Por tanto, si la segunda carga es negativa, el campo eléctrico se anula a una distancia de aproximadamente \( 0{,}24\,\text{m} \) a la derecha de la carga \( q_2 \).