Ejercicio - Intensidad de campo eléctrico

Ejercicio de Campo eléctrico

\( \textbf{Ejercicio.} \) Un péndulo está formado por una esfera de \( 10\,\text{g} \) de masa y \( +5\,\mu C \) de carga, que cuelga de un hilo de \( 20\,\text{cm} \) de longitud. Situamos el péndulo en una región del espacio en la que hay un campo eléctrico uniforme horizontal.

a) Halla el valor del campo eléctrico si la esfera se encuentra en reposo y forma un ángulo de \( 30^\circ \) con la vertical.

b) ¿Cuál es la tensión del hilo en ese momento?

Solución de los Apartados

a) Halla el valor del campo eléctrico si la esfera se encuentra en reposo y forma un ángulo de \( 30^\circ \) con la vertical.

Solución: Tenemos una esfera en equilibrio sometida a la acción de tres fuerzas: - La tensión del hilo \( T \) - El peso \( P = mg \) - La fuerza eléctrica \( F_e = qE \), debida al campo eléctrico horizontal Como la esfera forma un ángulo de \( 30^\circ \) con la vertical, descomponemos la tensión en componentes: - Componente vertical: \( T \cos \alpha = mg \) - Componente horizontal: \( T \sin \alpha = qE \) Dividiendo ambas ecuaciones: \[ \frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} = \frac{qE}{mg} \quad \Rightarrow \quad \tan \alpha = \frac{qE}{mg} \] Despejamos el valor del campo eléctrico: \[ E = \frac{mg \tan \alpha}{q} \] Sustituimos los valores numéricos: \[ m = 10\,\text{g} = 0{,}01\,\text{kg}, \quad q = 5\,\mu C = 5 \cdot 10^{-6}\,\text{C}, \quad g = 9{,}8\,\text{m/s}^2, \quad \alpha = 30^\circ \] \[ \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577 \] \[ E = \frac{0{,}01 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}577}{5 \cdot 10^{-6}} \approx \frac{0{,}05655}{5 \cdot 10^{-6}} = 1{,}131 \cdot 10^4\,\text{N/C} \] \[ \Rightarrow \boxed{E \approx 1{,}13 \cdot 10^4\,\text{N/C}} \]

b) ¿Cuál es la tensión del hilo en ese momento?

Solución: Para hallar la tensión del hilo, usamos la componente vertical de la fuerza de tensión, ya que es la que equilibra el peso del cuerpo: \[ T \cos \alpha = mg \quad \Rightarrow \quad T = \frac{mg}{\cos \alpha} \] Sustituimos los valores: \[ m = 0{,}01\,\text{kg}, \quad g = 9{,}8\,\text{m/s}^2, \quad \alpha = 30^\circ \] \[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866 \] \[ T = \frac{0{,}01 \cdot 9{,}8}{0{,}866} \approx \frac{0{,}098}{0{,}866} \approx 0{,}113\,\text{N} \] \[ \Rightarrow \boxed{T \approx 0{,}11\,\text{N}} \]