Ejercicio - Sistemas homogéneos y discusión de sistemas

Solución: Discutir el sistema según los valores del parámetro \( \lambda \): \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x - y = \lambda \\ \lambda x - 2y = 4 \\ 3x - y = 2 \end{array} \right. \] Formamos la matriz ampliada del sistema: \[ A^* = \begin{pmatrix} 2 & -1 & \lambda \\ \lambda & -2 & 4 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \] Calculamos el determinante de \( A^* \) para estudiar cuándo el rango es 3: \[ |A^*| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & \lambda \\ \lambda & -2 & 4 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -\lambda^2 + 8\lambda - 12 \] Resolvemos: \[ -\lambda^2 + 8\lambda - 12 = 0 \Rightarrow \lambda = 2 \text{ o } \lambda = 6 \] Estudio por casos: \[ \textbf{1. Si } \lambda \ne 2 \text{ y } \lambda \ne 6: \] \[ |A^*| \ne 0 \Rightarrow \text{Rg}(A^*) = 3 > 2 = \text{número de incógnitas} \Rightarrow \boxed{\text{Sistema incompatible (SI)}} \] \[ \textbf{2. Si } \lambda = 2: \] \[ A^* = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \text{Eliminando filas:} \] \[ F_2 \leftarrow F_2 - F_1 \Rightarrow (0, -1, 2) \\ F_3 \leftarrow F_3 - \frac{3}{2} F_1 \Rightarrow (0, 0, -1) \] El rango de la matriz de coeficientes y de la ampliada es 2: \[ \text{Rg}(A) = \text{Rg}(A^*) = 2 = \text{número de incógnitas} \Rightarrow \boxed{\text{Sistema compatible determinado (SCD)}} \] \[ \textbf{3. Si } \lambda = 6: \] \[ A^* = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 6 \\ 6 & -2 & 4 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \] \[ F_2 \leftarrow F_2 - 3F_1 \Rightarrow (0, 1, -14) \\ F_3 \leftarrow F_3 - \frac{3}{2}F_1 \Rightarrow (0, 0, -7) \] De nuevo: \[ \text{Rg}(A) = \text{Rg}(A^*) = 2 = \text{número de incógnitas} \Rightarrow \boxed{\text{Sistema compatible determinado (SCD)}} \] \[ \textbf{Conclusión final:} \] \[ \begin{cases} \text{SI} & \text{si } \lambda \ne 2 \text{ y } \lambda \ne 6 \\ \text{SCD} & \text{si } \lambda = 2 \text{ o } \lambda = 6 \end{cases} \]