Ejercicio - Potencial eléctrico

Solución: Queremos hallar el punto entre dos cargas \( q_1 = 5\,\text{mC} \) y \( q_2 = -2{,}5\,\text{mC} \), separadas \( 20\,\text{cm} = 0{,}20\,\text{m} \), donde el \textbf{potencial eléctrico total sea cero}. El potencial eléctrico total se anula cuando: \[ V_1 + V_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad V_1 = -V_2 \] Usamos la fórmula del potencial de una carga puntual: \[ V = k \cdot \frac{q}{r} \] Llamamos \( r_1 \) a la distancia desde \( q_1 \) al punto buscado. Entonces, la distancia a la segunda carga será: \[ r_2 = 0{,}20 - r_1 \] Planteamos la igualdad de potenciales (respetando el signo de cada carga): \[ k \cdot \frac{q_1}{r_1} = -k \cdot \frac{q_2}{r_2} \quad \Rightarrow \quad \frac{q_1}{r_1} = \frac{-q_2}{0{,}20 - r_1} \] Multiplicamos en cruz: \[ q_1 (0{,}20 - r_1) = -q_2 r_1 \] \[ 0{,}20 q_1 - q_1 r_1 = -q_2 r_1 \quad \Rightarrow \quad 0{,}20 q_1 = r_1 (q_1 - q_2) \] Despejamos \( r_1 \): \[ r_1 = \frac{0{,}20 q_1}{q_1 - q_2} \] Sustituimos: \[ q_1 = 5\,\text{mC}, \quad q_2 = -2{,}5\,\text{mC} \quad \Rightarrow \quad r_1 = \frac{0{,}20 \cdot 5}{5 - (-2{,}5)} = \frac{1}{7{,}5} \approx 0{,}133\,\text{m} \] \[ \boxed{r_1 \approx 0{,}13\,\text{m}} \] Por tanto, el potencial eléctrico total es cero a una distancia de aproximadamente \( 13\,\text{cm} \) de la carga \( q_1 \).

Solución: Queremos calcular el \( \textbf{campo eléctrico} \) en el punto donde el \( \textbf{potencial total es cero} \), situado a una distancia de \[ r_1 = 0{,}133\,\text{m} \] de la carga \( q_1 = 5\,\text{mC} \), y por tanto a \[ r_2 = 0{,}20 - 0{,}133 = 0{,}067\,\text{m} \] de la carga \( q_2 = -2{,}5\,\text{mC} \). El campo eléctrico total en ese punto es la suma vectorial de los campos creados por cada carga: \[ \vec{E}_{\text{total}} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 \] Los módulos de los campos se calculan como: \[ E_1 = k \cdot \frac{|q_1|}{r_1^2}, \quad E_2 = k \cdot \frac{|q_2|}{r_2^2} \] Sustituimos los valores: \[ k = 9 \cdot 10^9\,\text{N·m}^2/\text{C}^2, \quad q_1 = 5 \cdot 10^{-3}\,\text{C}, \quad q_2 = -2{,}5 \cdot 10^{-3}\,\text{C} \] \[ r_1 = 0{,}133\,\text{m}, \quad r_2 = 0{,}067\,\text{m} \] Calculamos \( E_1 \): \[ E_1 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{5 \cdot 10^{-3}}{(0{,}133)^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{5 \cdot 10^{-3}}{0{,}0177} \approx 2{,}54 \cdot 10^9\,\text{N/C} \] Calculamos \( E_2 \): \[ E_2 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2{,}5 \cdot 10^{-3}}{(0{,}067)^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2{,}5 \cdot 10^{-3}}{0{,}00449} \approx 5{,}02 \cdot 10^9\,\text{N/C} \] Ambas cargas crean campos que, en ese punto situado entre ellas, apuntan hacia la derecha: - \( q_1 > 0 \): su campo apunta hacia fuera (derecha) - \( q_2 < 0 \): su campo apunta hacia la carga (también derecha) \[ \Rightarrow \text{Ambos campos tienen el mismo sentido} \] \[ E_{\text{total}} = E_1 + E_2 = 2{,}54 \cdot 10^9 + 5{,}02 \cdot 10^9 = 7{,}56 \cdot 10^9\,\text{N/C} \] \[ \boxed{E = 7{,}56 \cdot 10^9\,\text{N/C} \quad (\text{hacia la derecha})} \]