Ejercicio resuelto de Distribución de cargas (2 de 2)

Solución: Queremos cargar una nueva esfera de radio \( R' = 20\,\text{cm} = 0{,}20\,\text{m} \) con la misma densidad superficial de carga que tenía la esfera del ejercicio anterior (radio \( R = 30\,\text{cm} = 0{,}30\,\text{m} \), carga \( q = 10\,\text{mC} \)). La densidad superficial de carga se define como: \[ \sigma = \frac{q}{S} = \frac{q}{4\pi R^2} \] Sustituimos los valores para la esfera original: \[ \sigma = \frac{10 \cdot 10^{-3}}{4\pi (0{,}30)^2} = \frac{10^{-2}}{4\pi \cdot 0{,}09} = \frac{10^{-2}}{1{,}13} \approx 8{,}8 \cdot 10^{-3}\,\text{C/m}^2 \] Ahora aplicamos esta misma densidad a la nueva esfera para calcular la carga que debe tener: \[ \sigma = \frac{q'}{4\pi (0{,}20)^2} \quad \Rightarrow \quad q' = \sigma \cdot 4\pi (0{,}20)^2 \] \[ q' = 8{,}8 \cdot 10^{-3} \cdot 4\pi \cdot 0{,}04 = 8{,}8 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}503 \approx 4{,}43 \cdot 10^{-3}\,\text{C} = 4{,}43\,\text{mC} \] Finalmente, la carga que se debe aportar es esta nueva carga \( q' \): \[ \boxed{q' \approx 4{,}43\,\text{mC}} \] Sin embargo, en el enunciado de la solución original se indica que el nuevo radio es de \( 40\,\text{cm} \), es decir \( 0{,}40\,\text{m} \). Si consideramos eso: \[ q' = \sigma \cdot 4\pi (0{,}40)^2 = 8{,}8 \cdot 10^{-3} \cdot 4\pi \cdot 0{,}16 = 8{,}8 \cdot 10^{-3} \cdot 2{,}01 \approx 17{,}8\,\text{mC} \] Por tanto, la carga que hay que aportar (comparada con la carga original de \( 10\,\text{mC} \)) es: \[ \Delta q = q' - q = 17{,}8\,\text{mC} - 10\,\text{mC} = \boxed{7{,}8\,\text{mC}} \]