Ejercicio resuelto de Introducción a la gravitación

Solución: Aplicamos la \textbf{tercera ley de Kepler}, que relaciona el período orbital \( T \) de un planeta con el radio medio de su órbita \( r \): \[ \left( \frac{T_S}{T_T} \right)^2 = \left( \frac{r_S}{r_T} \right)^3 \] Donde: \[ \begin{align*} T_S &= \text{período orbital de Saturno} \\ T_T &= \text{período orbital de la Tierra} = 1 \text{ año} \\ r_S &= \text{distancia media de Saturno al Sol} \\ r_T &= \text{distancia media de la Tierra al Sol} \end{align*} \] Según el enunciado: \[ \frac{r_S}{r_T} = 9{,}54 \] Sustituimos en la fórmula de la tercera ley de Kepler: \[ \left( \frac{T_S}{1} \right)^2 = (9{,}54)^3 \quad \Rightarrow \quad T_S = \sqrt{(9{,}54)^3} \] \[ T_S = \sqrt{868{,}746} \approx 29{,}5 \text{ años} \] Si queremos expresarlo en días, sabiendo que \( 1 \text{ año} = 365 \text{ días} \): \[ T_S = 29{,}5 \cdot 365 = 10755 \text{ días} \] \[ \boxed{T_S = 10755 \text{ días} = 29{,}5 \text{ años}} \]