Ejercicio - Campos escalares, vectoriales y gravitatorios
Ejercicio de Campo gravitatorio
\( \textbf{Ejercicio.} \) Dos masas de \( 30 \, \text{kg} \) se encuentran situadas en los puntos \( (-2, 0) \) y \( (2, 0) \), respectivamente. Calcula:
a) La intensidad del campo gravitatorio en el punto \( (0, 3) \).
b) La fuerza que se ejercerá sobre un cuerpo de \( 250 \, \text{g} \) situado en dicho punto.
Solución de los Apartados
a) La intensidad del campo gravitatorio en el punto \( (0, 3) \).
Solución: Dado que el punto \( (0,3) \) está a la misma distancia de ambas masas \( (30 \, \text{kg}) \), el módulo del campo gravitatorio generado por cada una de ellas será igual. Calculamos la distancia desde cada masa al punto \( (0,3) \) usando el teorema de Pitágoras: \[ r = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \, \text{m} \] Aplicamos la fórmula del campo gravitatorio generado por una masa puntual: \[ g = G \frac{M}{r^2} \] Donde: \[ G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}, \quad M = 30 \, \text{kg}, \quad r^2 = 13 \] \[ g = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{30}{13} \approx 1{,}54 \cdot 10^{-10} \, \text{m} \cdot \text{s}^{-2} \] Ambos vectores de campo gravitatorio están dirigidos hacia las masas, y forman el mismo ángulo con el eje vertical. Calculamos los senos y cosenos de ese ángulo: \[ \sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}, \quad \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}} \] Componentes del vector campo gravitatorio generado por la masa situada en \( (-2,0) \): \[ \vec{g}_1 = 1{,}54 \cdot 10^{-10} \cdot \left( -\cos \alpha \, \vec{\imath} - \sin \alpha \, \vec{\jmath} \right) \, \text{m} \cdot \text{s}^{-2} \] Componentes del vector campo gravitatorio generado por la masa situada en \( (2,0) \): \[ \vec{g}_2 = 1{,}54 \cdot 10^{-10} \cdot \left( \cos \alpha \, \vec{\imath} - \sin \alpha \, \vec{\jmath} \right) \, \text{m} \cdot \text{s}^{-2} \] Sumamos ambos vectores aplicando el principio de superposición: \[ \vec{g} = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 = -2 \cdot 1{,}54 \cdot 10^{-10} \cdot \sin \alpha \cdot \vec{\jmath} \] \[ \vec{g} = -2{,}56 \cdot 10^{-10} \, \vec{\jmath} \, \text{m} \cdot \text{s}^{-2} \] Por tanto, la intensidad del campo gravitatorio en el punto \( (0,3) \) es: \[ \boxed{\vec{g} = -2{,}56 \cdot 10^{-10} \, \vec{\jmath} \, \text{m} \cdot \text{s}^{-2}} \]
b) La fuerza que se ejercerá sobre un cuerpo de \( 250 \, \text{g} \) situado en dicho punto.
Solución: Queremos calcular la fuerza que actúa sobre un cuerpo de \( 250 \, \text{g} \) situado en el punto \( (0, 3) \). Primero, convertimos la masa a kilogramos: \[ m = 250 \, \text{g} = 0{,}250 \, \text{kg} \] Ya hemos calculado en el apartado anterior que la intensidad del campo gravitatorio en ese punto es: \[ \vec{g} = -2{,}56 \cdot 10^{-10} \, \vec{\jmath} \, \text{m} \cdot \text{s}^{-2} \] Aplicamos la expresión de la fuerza gravitatoria: \[ \vec{F} = m \cdot \vec{g} \] \[ \vec{F} = 0{,}250 \cdot \left( -2{,}56 \cdot 10^{-10} \right) \vec{\jmath} \] \[ \vec{F} = -6{,}40 \cdot 10^{-11} \, \vec{\jmath} \, \text{N} \] Por tanto, la fuerza que se ejercerá sobre el cuerpo es: \[ \boxed{\vec{F} = -6{,}40 \cdot 10^{-11} \, \vec{\jmath} \, \text{N}} \]