Ejercicio - Ley de Gravitación Universal
Ejercicio de Campo gravitatorio
\( \textbf{Ejercicio.} \quad \text{Velocidad orbital y energía de la EEI} \) La Estación Espacial Internacional (EEI) orbita la Tierra a una altitud de \( 400 \, \text{km} \) sobre la superficie terrestre y se prevé que finalice su operación en el año 2031. A partir de la ley de la gravitación universal, deduce la expresión de la velocidad orbital en función del radio orbital. Calcula la velocidad de la EEI en órbita y el número de vueltas que da a la Tierra cada día.
Posteriormente, la EEI reducirá su órbita de forma controlada hasta una altitud de \( 280 \, \text{km} \). Calcula la energía mecánica de la estación en esta nueva órbita y justifica el signo del resultado. Finalmente, asumiendo que cae verticalmente al océano Pacífico desde esa altura y despreciando los efectos de la atmósfera, determina la energía cinética con la que impactará contra el mar. \( \textbf{Datos:} \quad G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2 \quad M_T = 5{,}98 \cdot 10^{24} \, \text{kg} \quad R_T = 6{,}37 \cdot 10^6 \, \text{m} \quad M_{\text{EEI}} = 430 \cdot 10^3 \, \text{kg} \)
Solución de los Apartados
Posteriormente, la EEI reducirá su órbita de forma controlada hasta una altitud de \( 280 \, \text{km} \). Calcula la energía mecánica de la estación en esta nueva órbita y justifica el signo del resultado. Finalmente, asumiendo que cae verticalmente al océano Pacífico desde esa altura y despreciando los efectos de la atmósfera, determina la energía cinética con la que impactará contra el mar. \( \textbf{Datos:} \quad G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2 \quad M_T = 5{,}98 \cdot 10^{24} \, \text{kg} \quad R_T = 6{,}37 \cdot 10^6 \, \text{m} \quad M_{\text{EEI}} = 430 \cdot 10^3 \, \text{kg} \)
Solución: Para encontrar la expresión de la velocidad orbital: Según la ley de la gravitación universal, el módulo de la fuerza sobre la EEI es: \[ F = G \frac{M_T M_{\text{EEI}}}{r^2} \] La segunda ley de Newton establece que: \[ \vec{F} = M_{\text{EEI}} \vec{a} \] Por otro lado, considerando que la estación espacial describe un movimiento circular uniforme alrededor de la Tierra, su aceleración es la aceleración centrípeta: \[ a = \frac{v^2}{r} \] Como sobre la estación solo actúa la fuerza gravitatoria: \[ G \frac{M_T M_{\text{EEI}}}{r^2} = M_{\text{EEI}} \frac{v^2}{r} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}} \] Utilizando esta expresión, obtenemos el valor de la velocidad orbital para la estación espacial: \[ v_{\text{EEI}} = \sqrt{\frac{G M_T}{r}} = \sqrt{\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}98 \cdot 10^{24}}{4{,}00 \cdot 10^5 + 6{,}37 \cdot 10^6}} = 7{,}68 \cdot 10^3 \, \text{m/s} \] Para saber el número de vueltas que da la estación cada día, comparamos ambos tiempos. El período de la EEI: \[ T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \cdot 6{,}77 \cdot 10^6}{7{,}68 \cdot 10^3} = 5{,}54 \cdot 10^3 \, \text{s} \] Un día en segundos: \[ t_{\text{día}} = 24 \cdot 3600 = 8{,}64 \cdot 10^4 \, \text{s} \] Número de vueltas por día: \[ n_{\text{vueltas/día}} = \frac{t_{\text{día}}}{T} = \frac{8{,}64 \cdot 10^4}{5{,}54 \cdot 10^3} = 15 \, \text{vueltas} \]