Ejercicio - Sistemas homogéneos y discusión de sistemas

Solución: Discutimos el siguiente sistema en función del parámetro \( m \): \[ \left\{ \begin{array}{l} x - y + z = 1 \\ 2x - y + z = m \\ 3x + 2y - mz = 4 \end{array} \right. \] Formamos la matriz de coeficientes: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -m \end{pmatrix} \] Y la matriz ampliada del sistema: \[ A^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & m \\ 3 & 2 & -m & 4 \end{pmatrix} \] Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes \( A \): \[ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -m \end{vmatrix} \] Aplicamos desarrollo por la primera fila: \[ |A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -m \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -m \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} \] \[ = 1(-1 \cdot -m - 1 \cdot 2) + 1(2 \cdot -m - 1 \cdot 3) + 1(2 \cdot 2 - (-1) \cdot 3) \] \[ = (m - 2) + (-2m - 3) + (4 + 3) = m - 2 - 2m - 3 + 7 = -m + 2 \] Por tanto: \[ |A| = -m + 2 \] \[ \textbf{Caso 1: } m \ne 2 \] \[ |A| \ne 0 \Rightarrow \text{Rg}(A) = 3 = \text{número de incógnitas} \Rightarrow \boxed{\text{Sistema compatible determinado (SCD)}} \] \[ \textbf{Caso 2: } m = 2 \] En este caso \( |A| = 0 \), por tanto analizamos el rango de la matriz ampliada: \[ A^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & -2 & 4 \end{pmatrix} \] Tomamos el menor de orden 2 que no se anula: \[ \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(1) - (-1)(2) = -1 + 2 = 1 \ne 0 \Rightarrow \text{Rg}(A) = 2 \] Comprobamos si existe un menor de orden 3 distinto de cero en la matriz ampliada \( A^* \). Consideramos: \[ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \end{vmatrix} = -m + 2 \Rightarrow -2 + 2 = 0 \] Pero si tomamos otro menor de orden 3: \[ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \end{vmatrix} \Rightarrow \text{Ya calculado: } 0 \] Probamos otro menor (usando otras columnas): \[ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = (-4 - 4 - 6) - (-3 - 4 - 8) = -14 - (-15) = 1 \ne 0 \] \[ \Rightarrow \text{Rg}(A^*) = 3 \] Como: \[ \text{Rg}(A) = 2 \ne \text{Rg}(A^*) = 3 \Rightarrow \boxed{\text{Sistema incompatible (SI)}} \] \[ \textbf{Conclusión final:} \] \[ \begin{cases} \text{SCD} & \text{si } m \ne 2 \\ \text{SI} & \text{si } m = 2 \end{cases} \]