Ejercicio - Campos escalares, vectoriales y gravitatorios

Solución: Queremos calcular la relación entre la intensidad del campo gravitatorio en Marte \( g_M \) y la de la Tierra \( g_T \). Sabemos que el campo gravitatorio en la superficie de un planeta se calcula como: \[ g = G \frac{M}{R^2} \] Por tanto, la relación entre la gravedad de Marte y la de la Tierra será: \[ \frac{g_M}{g_T} = \frac{G \frac{M_M}{R_M^2}}{G \frac{M_T}{R_T^2}} = \frac{M_M}{M_T} \cdot \frac{R_T^2}{R_M^2} \] Sustituimos los valores que nos da el enunciado: \[ \frac{M_M}{M_T} = 0{,}108, \quad \frac{R_M}{R_T} = 0{,}532 \Rightarrow \frac{R_T}{R_M} = \frac{1}{0{,}532} \] \[ \frac{g_M}{g_T} = 0{,}108 \cdot \left( \frac{1}{0{,}532} \right)^2 \] \[ \frac{g_M}{g_T} = 0{,}108 \cdot \frac{1}{0{,}283} \approx 0{,}108 \cdot 3{,}53 = 0{,}382 \] Por tanto, la gravedad en la superficie de Marte es aproximadamente el \( 38{,}2 \% \) de la gravedad en la superficie de la Tierra: \[ \boxed{\frac{g_M}{g_T} = 0{,}382} \]

Solución: Queremos saber si un cuerpo lanzado desde \( 1 \, \text{m} \) de altura llega al suelo con la misma velocidad en Marte y en la Tierra. Usamos la ecuación de la energía mecánica (o cinemática) para una caída libre sin velocidad inicial: \[ v = \sqrt{2gh} \] Donde: - \( v \) es la velocidad con la que llega al suelo, - \( g \) es la aceleración de la gravedad del planeta, - \( h = 1 \, \text{m} \) es la altura desde la que se suelta el objeto. Comparando las velocidades en Marte y en la Tierra: \[ v_M = \sqrt{2g_M h}, \quad v_T = \sqrt{2g_T h} \] Como \( g_M \neq g_T \), las velocidades no serán iguales. Usamos la relación del apartado anterior: \[ \frac{g_M}{g_T} = 0{,}382 \Rightarrow g_M = 0{,}382 \cdot g_T \] Sustituimos: \[ v_M = \sqrt{2 \cdot 0{,}382 \cdot g_T \cdot h} = \sqrt{0{,}382} \cdot \sqrt{2g_T h} \] \[ v_M = \sqrt{0{,}382} \cdot v_T \approx 0{,}618 \cdot v_T \] Por tanto, la velocidad final en Marte será un \( 61{,}8\% \) de la obtenida en la Tierra. \[ \boxed{\text{No, el cuerpo no llegará con la misma velocidad en Marte que en la Tierra.}} \]