Ejercicio resuelto de Energía potencial gravitatoria (1 de 3)

Solución: Supongamos que la fuerza gravitatoria fuese inversamente proporcional a \( r^4 \): \[ F(r) \propto \frac{1}{r^4} \] Queremos saber si existe una función de energía potencial \( E_p(r) \) tal que: \[ F(r) = -\frac{dE_p}{dr} \] Buscamos una función cuya derivada sea \( \propto \frac{1}{r^4} \). Si proponemos una energía potencial de la forma: \[ E_p(r) = \frac{A}{r^3} \] Donde \( A \) es una constante, derivamos: \[ \frac{dE_p}{dr} = \frac{d}{dr} \left( \frac{A}{r^3} \right) = -3 \cdot \frac{A}{r^4} \] Entonces: \[ F(r) = -\left( -3 \cdot \frac{A}{r^4} \right) = \frac{3A}{r^4} \] Por tanto, se cumple que la fuerza es derivada de una función de energía potencial. \[ \boxed{\text{Sí, existe una función de energía potencial: } E_p(r) = \frac{A}{r^3}} \]

Solución: Una fuerza es \( \textbf{conservativa} \) si el trabajo que realiza entre dos puntos no depende del camino seguido, sino solo de la posición inicial y final. Una condición necesaria para que una fuerza sea conservativa es que exista una función de energía potencial \( E_p(r) \) tal que: \[ \vec{F}(r) = -\nabla E_p(r) \] En el apartado anterior demostramos que la fuerza gravitatoria de la forma \( F(r) \propto \frac{1}{r^4} \) admite una energía potencial: \[ E_p(r) = \frac{A}{r^3} \] Dado que la fuerza se puede derivar de una función escalar \( E_p \), y además depende únicamente de la distancia \( r \), entonces se trata de una fuerza conservativa. \[ \boxed{\text{Sí, la fuerza sería conservativa.}} \]

Solución: Una \( \textbf{fuerza central} \) es aquella cuya dirección está siempre orientada hacia (o desde) un punto fijo y cuya intensidad depende únicamente de la distancia \( r \) a ese punto: \[ \vec{F}(r) = f(r) \cdot \hat{r} \] Donde \( \hat{r} \) es el vector unitario radial y \( f(r) \) una función escalar. La fuerza planteada en este ejercicio es de la forma: \[ \vec{F}(r) = -k \cdot \frac{1}{r^4} \cdot \hat{r} \] Depende únicamente de la distancia \( r \) y está dirigida radialmente hacia el centro (signo negativo), por lo tanto cumple la definición de fuerza central. \[ \boxed{\text{Sí, se trata de una fuerza central.}} \]