Ejercicio - Energía potencial gravitatoria

Ejercicio de Campo gravitatorio

\( \textbf{Ejercicio.} \) Imagina que la fuerza gravitatoria fuese inversamente proporcional a \( r^4 \).

a) ¿Existiría una función de energía potencial?

b) ¿Sería conservativa la interacción gravitatoria?

c) ¿Se trataría de una fuerza central?

Solución de los Apartados

a) ¿Existiría una función de energía potencial?

Solución: Supongamos que la fuerza gravitatoria fuese inversamente proporcional a \( r^4 \): \[ F(r) \propto \frac{1}{r^4} \] Queremos saber si existe una función de energía potencial \( E_p(r) \) tal que: \[ F(r) = -\frac{dE_p}{dr} \] Buscamos una función cuya derivada sea \( \propto \frac{1}{r^4} \). Si proponemos una energía potencial de la forma: \[ E_p(r) = \frac{A}{r^3} \] Donde \( A \) es una constante, derivamos: \[ \frac{dE_p}{dr} = \frac{d}{dr} \left( \frac{A}{r^3} \right) = -3 \cdot \frac{A}{r^4} \] Entonces: \[ F(r) = -\left( -3 \cdot \frac{A}{r^4} \right) = \frac{3A}{r^4} \] Por tanto, se cumple que la fuerza es derivada de una función de energía potencial. \[ \boxed{\text{Sí, existe una función de energía potencial: } E_p(r) = \frac{A}{r^3}} \]

b) ¿Sería conservativa la interacción gravitatoria?

Solución: Una fuerza es \( \textbf{conservativa} \) si el trabajo que realiza entre dos puntos no depende del camino seguido, sino solo de la posición inicial y final. Una condición necesaria para que una fuerza sea conservativa es que exista una función de energía potencial \( E_p(r) \) tal que: \[ \vec{F}(r) = -\nabla E_p(r) \] En el apartado anterior demostramos que la fuerza gravitatoria de la forma \( F(r) \propto \frac{1}{r^4} \) admite una energía potencial: \[ E_p(r) = \frac{A}{r^3} \] Dado que la fuerza se puede derivar de una función escalar \( E_p \), y además depende únicamente de la distancia \( r \), entonces se trata de una fuerza conservativa. \[ \boxed{\text{Sí, la fuerza sería conservativa.}} \]

c) ¿Se trataría de una fuerza central?

Solución: Una \( \textbf{fuerza central} \) es aquella cuya dirección está siempre orientada hacia (o desde) un punto fijo y cuya intensidad depende únicamente de la distancia \( r \) a ese punto: \[ \vec{F}(r) = f(r) \cdot \hat{r} \] Donde \( \hat{r} \) es el vector unitario radial y \( f(r) \) una función escalar. La fuerza planteada en este ejercicio es de la forma: \[ \vec{F}(r) = -k \cdot \frac{1}{r^4} \cdot \hat{r} \] Depende únicamente de la distancia \( r \) y está dirigida radialmente hacia el centro (signo negativo), por lo tanto cumple la definición de fuerza central. \[ \boxed{\text{Sí, se trata de una fuerza central.}} \]