Ejercicio resuelto de Energía potencial gravitatoria (2 de 3)

Solución: Sabemos que la \( \textbf{interacción gravitatoria es conservativa} \), por tanto, se conserva la energía mecánica total del sistema. \( \textbf{Energía inicial:} \) El asteroide parte del reposo, así que su energía inicial es totalmente potencial: \[ E_0 = \frac{1}{2} m v_0^2 - G \frac{M m}{r_0} = - G \frac{M m}{r_0} \] \( \textbf{Energía final:} \) cuando el asteroide se encuentra en la órbita terrestre, su energía es: \[ E = \frac{1}{2} m v^2 - G \frac{M m}{r} \] Igualamos ambas energías y simplificamos la masa del asteroide \( m \): \[ - G \frac{M}{r_0} = \frac{1}{2} v^2 - G \frac{M}{r} \] Pasamos todos los términos al mismo lado y despejamos \( v \): \[ G \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r_0} \right) = \frac{1}{2} v^2 \quad \Rightarrow \quad v^2 = 2G M \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r_0} \right) \] Finalmente: \[ v = \sqrt{2 G M \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r_0} \right)} \] Sustituimos los valores: \[ G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}, \quad M = 1{,}99 \cdot 10^{30} \, \text{kg} \] \[ r = 1{,}496 \cdot 10^{11} \, \text{m}, \quad r_0 = 10^{12} \, \text{m} \] \[ v = \sqrt{2 \cdot 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 1{,}99 \cdot 10^{30} \left( \frac{1}{1{,}496 \cdot 10^{11}} - \frac{1}{10^{12}} \right)} \] \[ v \approx 3{,}88 \cdot 10^4 \, \text{m/s} \] \[ \boxed{v = 3{,}88 \cdot 10^4 \, \text{m/s}} \] \( \textbf{Cálculo del momento angular:} \) Aplicamos la fórmula: \[ L = r m v \sin \theta \] Donde: - \( r = 1{,}496 \cdot 10^{11} \, \text{m} \) - \( m = 1000 \, \text{toneladas} = 10^6 \, \text{kg} \) - \( v = 3{,}88 \cdot 10^4 \, \text{m/s} \) - \( \theta = 30^\circ \Rightarrow \sin(30^\circ) = 0{,}5 \) \[ L = 1{,}496 \cdot 10^{11} \cdot 10^6 \cdot 3{,}88 \cdot 10^4 \cdot 0{,}5 \] \[ L \approx 2{,}9 \cdot 10^{21} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s} \] \[ \boxed{L = 2{,}9 \cdot 10^{21} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}} \]