Ejercicio resuelto de Energía potencial gravitatoria (3 de 3)

Solución: En un movimiento bajo la acción de la fuerza gravitatoria, se conserva la energía mecánica total. \( \textbf{Energía inicial:} \) El objeto parte desde la superficie terrestre con velocidad \( v_0 \). Por tanto, su energía es: \[ E_0 = \frac{1}{2} m v_0^2 - G \frac{M m}{R} \] \( \textbf{Energía final:} \) En el punto de altura máxima (a \( 5000 \, \text{km} \) de la superficie), la velocidad es nula, así que la energía es puramente potencial: \[ E = - G \frac{M m}{r} \] Donde: - \( R = 6{,}37 \cdot 10^6 \, \text{m} \) es el radio terrestre - \( r = R + 5000 \cdot 10^3 = 1{,}14 \cdot 10^7 \, \text{m} \) Igualamos las energías y simplificamos la masa \( m \): \[ \frac{1}{2} v_0^2 - G \frac{M}{R} = - G \frac{M}{r} \] Pasamos términos y despejamos \( v_0 \): \[ \frac{1}{2} v_0^2 = G M \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{r} \right) \Rightarrow v_0^2 = 2 G M \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{r} \right) \] Sustituimos los valores: \[ G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}, \quad M = 5{,}97 \cdot 10^{24} \, \text{kg} \] \[ R = 6{,}37 \cdot 10^6 \, \text{m}, \quad r = 1{,}14 \cdot 10^7 \, \text{m} \] \[ v_0^2 = 2 \cdot 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24} \left( \frac{1}{6{,}37 \cdot 10^6} - \frac{1}{1{,}14 \cdot 10^7} \right) \] \[ v_0^2 \approx 5{,}5 \cdot 10^7 \Rightarrow v_0 = \sqrt{5{,}5 \cdot 10^7} \] \[ \boxed{v_0 \approx 7410 \, \text{m/s}} \]