Ejercicio - Energía potencial gravitatoria
Ejercicio de Campo gravitatorio
\( \textbf{Ejercicio.} \) Se lanza un objeto hacia arriba desde la superficie terrestre y alcanza una altura máxima de \( 5000 \, \text{km} \).
Determina la velocidad inicial con la que ha sido propulsado, despreciando los efectos de fricción atmosférica.
Solución de los Apartados
Determina la velocidad inicial con la que ha sido propulsado, despreciando los efectos de fricción atmosférica.
Solución: En un movimiento bajo la acción de la fuerza gravitatoria, se conserva la energía mecánica total. \( \textbf{Energía inicial:} \) El objeto parte desde la superficie terrestre con velocidad \( v_0 \). Por tanto, su energía es: \[ E_0 = \frac{1}{2} m v_0^2 - G \frac{M m}{R} \] \( \textbf{Energía final:} \) En el punto de altura máxima (a \( 5000 \, \text{km} \) de la superficie), la velocidad es nula, así que la energía es puramente potencial: \[ E = - G \frac{M m}{r} \] Donde: - \( R = 6{,}37 \cdot 10^6 \, \text{m} \) es el radio terrestre - \( r = R + 5000 \cdot 10^3 = 1{,}14 \cdot 10^7 \, \text{m} \) Igualamos las energías y simplificamos la masa \( m \): \[ \frac{1}{2} v_0^2 - G \frac{M}{R} = - G \frac{M}{r} \] Pasamos términos y despejamos \( v_0 \): \[ \frac{1}{2} v_0^2 = G M \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{r} \right) \Rightarrow v_0^2 = 2 G M \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{r} \right) \] Sustituimos los valores: \[ G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}, \quad M = 5{,}97 \cdot 10^{24} \, \text{kg} \] \[ R = 6{,}37 \cdot 10^6 \, \text{m}, \quad r = 1{,}14 \cdot 10^7 \, \text{m} \] \[ v_0^2 = 2 \cdot 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24} \left( \frac{1}{6{,}37 \cdot 10^6} - \frac{1}{1{,}14 \cdot 10^7} \right) \] \[ v_0^2 \approx 5{,}5 \cdot 10^7 \Rightarrow v_0 = \sqrt{5{,}5 \cdot 10^7} \] \[ \boxed{v_0 \approx 7410 \, \text{m/s}} \]