Ejercicio - Energía mecánica orbital

Solución: Queremos calcular la energía necesaria para trasladar un satélite de \( 500 \, \text{kg} \) desde la superficie terrestre hasta una órbita a \( 3000 \, \text{km} \) de altura. Usamos el principio de conservación de la energía. La energía necesaria es la diferencia entre la energía mecánica final en la órbita y la energía potencial inicial en la superficie terrestre. Datos: \[ G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2, \quad M = 5{,}97 \cdot 10^{24} \, \text{kg} \] \[ m = 500 \, \text{kg}, \quad R = 6{,}37 \cdot 10^6 \, \text{m}, \quad h = 3{,}00 \cdot 10^6 \, \text{m} \Rightarrow r = R + h = 9{,}37 \cdot 10^6 \, \text{m} \] \( \textbf{Energía potencial inicial en la superficie terrestre:} \) \[ E_0 = - G \frac{M m}{R} \] \[ E_0 = - 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{5{,}97 \cdot 10^{24} \cdot 500}{6{,}37 \cdot 10^6} \] \[ E_0 = -3{,}125 \cdot 10^{10} \, \text{J} = -31{,}25 \, \text{GJ} \] \( \textbf{Energía mecánica en la órbita circular:} \) \[ E = - \frac{G M m}{2r} \] \[ E = - \frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24} \cdot 500}{2 \cdot 9{,}37 \cdot 10^6} \] \[ E = -1{,}062 \cdot 10^{10} \, \text{J} = -10{,}6 \, \text{GJ} \] \( \textbf{Energía necesaria para alcanzar la órbita:} \) \[ \Delta E = E - E_0 = (-10{,}6) - (-31{,}25) = 20{,}6 \, \text{GJ} \] \[ \boxed{\Delta E = 20{,}6 \, \text{GJ}} \]

Solución: Queremos calcular la energía adicional que se necesitaría para que el satélite escape del campo gravitatorio terrestre desde la órbita de \( 3000 \, \text{km} \) de altura. Sabemos que para escapar del campo gravitatorio, la \( \textbf{energía mecánica total debe ser nula} \): \[ E_{\text{escape}} = 0 \] La energía mecánica actual del satélite en órbita, como ya se calculó en el apartado anterior, es: \[ E = - \frac{G M m}{2r} = -1{,}062 \cdot 10^{10} \, \text{J} \] Por tanto, para escapar, hay que aportarle una energía igual en módulo pero de signo opuesto a la que posee: \[ \Delta E = 0 - E = - (-1{,}062 \cdot 10^{10}) = 1{,}062 \cdot 10^{10} \, \text{J} \] \[ \boxed{\Delta E = 10{,}6 \, \text{GJ}} \] Esto significa que se necesitan \( 10{,}6 \, \text{GJ} \) adicionales para que el satélite escape completamente de la atracción gravitatoria terrestre desde esa órbita.