Ejercicio - Energía mecánica orbital

Solución: Queremos expresar la distancia a la que se encuentra el agujero negro de la Tierra, que es de \( 55 \, \text{millones de años luz} \), en metros y en unidades astronómicas (UA). Sabemos que la luz recorre: \[ v = 3 \cdot 10^8 \, \text{m/s} \] Un año tiene: \[ 365 \cdot 24 \cdot 3600 = 31{,}536{,}000 \, \text{s} \] Por tanto, la distancia que recorre la luz en un año es: \[ d_{\text{luz-año}} = v \cdot t = 3 \cdot 10^8 \cdot 3{,}1536 \cdot 10^7 = 9{,}46 \cdot 10^{15} \, \text{m} \] Multiplicamos por \( 55 \cdot 10^6 \) para obtener la distancia total: \[ d = 55 \cdot 10^6 \cdot 9{,}46 \cdot 10^{15} = 5{,}203 \cdot 10^{23} \, \text{m} \] Ahora expresamos esta distancia en unidades astronómicas, sabiendo que: \[ 1 \, \text{UA} = 1{,}496 \cdot 10^{11} \, \text{m} \] \[ d = \frac{5{,}203 \cdot 10^{23}}{1{,}496 \cdot 10^{11}} \approx 3{,}478 \cdot 10^{12} \, \text{UA} \] En el enunciado también se calculó solo para un año luz: \[ 1 \, \text{año luz} = 9{,}46 \cdot 10^{15} \, \text{m} = \frac{9{,}46 \cdot 10^{15}}{1{,}496 \cdot 10^{11}} = 63{,}240 \, \text{UA} \] Entonces, para \( 55 \cdot 10^6 \) años luz: \[ d = 55 \cdot 10^6 \cdot 63{,}240 = 3{,}478 \cdot 10^{12} \, \text{UA} \] \[ \boxed{d = 9{,}46 \cdot 10^{15} \, \text{m} = 63{,}240 \, \text{UA} \quad \text{(por cada año luz)}} \]

Solución: Queremos determinar el \( \textbf{radio máximo} \) que puede tener el agujero negro, sabiendo que ni siquiera la luz puede escapar de él. Es decir, la \( \textbf{velocidad de escape} \) desde su superficie es igual a la velocidad de la luz \( c \). La fórmula de la velocidad de escape es: \[ v = \sqrt{\frac{2 G M}{R}} \] Despejamos el radio \( R \): \[ R = \frac{2 G M}{v^2} \] Usamos los siguientes datos: - \( G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2 \) - \( M = 6{,}5 \cdot 10^9 \cdot M_{\odot} = 6{,}5 \cdot 10^9 \cdot 1{,}99 \cdot 10^{30} \, \text{kg} \) - \( v = c = 3 \cdot 10^8 \, \text{m/s} \) Sustituimos: \[ R = \frac{2 \cdot 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 6{,}5 \cdot 10^9 \cdot 1{,}99 \cdot 10^{30}}{(3 \cdot 10^8)^2} \] \[ R \approx 1{,}9 \cdot 10^{13} \, \text{m} \] Convertimos a unidades astronómicas, sabiendo que \( 1 \, \text{UA} = 1{,}496 \cdot 10^{11} \, \text{m} \): \[ R = \frac{1{,}9 \cdot 10^{13}}{1{,}496 \cdot 10^{11}} \approx 127{,}0 \, \text{UA} \] \[ \boxed{R = 1{,}9 \cdot 10^{13} \, \text{m} \approx 127 \, \text{UA}} \]

Solución: Queremos calcular la \( \textbf{velocidad orbital} \) de un objeto que gira alrededor del agujero negro en una órbita circular de radio \( r = 200 \, \text{UA} \). La fórmula de la velocidad orbital es: \[ v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \] Donde: - \( G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2 \) - \( M = 6{,}5 \cdot 10^9 \cdot M_\odot = 6{,}5 \cdot 10^9 \cdot 1{,}99 \cdot 10^{30} \, \text{kg} \) - \( r = 200 \cdot 1{,}496 \cdot 10^{11} \, \text{m} \) Sustituimos: \[ v = \sqrt{ \frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 6{,}5 \cdot 10^9 \cdot 1{,}99 \cdot 10^{30}}{200 \cdot 1{,}496 \cdot 10^{11}} } \] \[ v \approx 1{,}7 \cdot 10^8 \, \text{m/s} \] Ahora queremos expresar este resultado en función de la velocidad de la luz, \( c = 3 \cdot 10^8 \, \text{m/s} \): \[ \frac{v}{c} = \frac{1{,}7 \cdot 10^8}{3 \cdot 10^8} = 0{,}56 \] \[ \boxed{v \approx 0{,}56c} \] Por tanto, la velocidad orbital a \( 200 \, \text{UA} \) del centro del agujero negro es aproximadamente el \( 56\% \) de la velocidad de la luz.