Ejercicio - Fuerza magnética

Solución: Un electrón se mueve con \( \textbf{movimiento rectilíneo uniforme} \) en presencia de un \( \textbf{campo eléctrico} \) \( \vec{E} \) y un \( \textbf{campo magnético} \) \( \vec{B} \). Como su trayectoria no se curva y la velocidad es constante, la \( \textbf{fuerza neta sobre el electrón es nula} \): \[ \vec{F}_{\text{total}} = \vec{F}_E + \vec{F}_B = 0 \] La fuerza eléctrica es: \[ \vec{F}_E = q \vec{E} \] La fuerza magnética es: \[ \vec{F}_B = q \vec{v} \times \vec{B} \] Para que el electrón mantenga un movimiento rectilíneo uniforme, debe cumplirse: \[ q \vec{E} + q \vec{v} \times \vec{B} = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} = 0 \] \[ \Rightarrow \vec{v} \times \vec{B} = -\vec{E} \] Esto implica que el campo magnético debe tener la dirección y el módulo justos para que la fuerza magnética anule la fuerza eléctrica. Como el electrón tiene carga negativa \( (q < 0) \), aplicamos la \( \textbf{regla de la mano izquierda} \) para determinar la dirección del campo magnético. - \( \vec{E} \) y \( \vec{B} \) deben ser \( \textbf{perpendiculares} \) - \( \vec{v} \) debe ser perpendicular tanto a \( \vec{E} \) como a \( \vec{B} \) - \( \vec{B} \) debe apuntar hacia el interior del papel \( (\otimes) \), para que el producto vectorial \( \vec{v} \times \vec{B} \) sea opuesto a \( \vec{E} \) \( \textbf{Módulo de la velocidad del electrón:} \) Si el electrón se mueve sin aceleración, el módulo de ambas fuerzas debe ser igual: \[ |\vec{F}_E| = |\vec{F}_B| \quad \Rightarrow \quad |q||\vec{E}| = |q||\vec{v}||\vec{B}| \quad \Rightarrow \quad v = \frac{E}{B} \] \[ \boxed{v = \frac{E}{B}} \] \( \textbf{¿Qué pasaría si fuera un protón?} \) - La dirección de la fuerza eléctrica sería la misma, pero la fuerza magnética cambiaría de sentido, ya que la carga del protón es positiva \( (q > 0) \) - Para mantener el equilibrio, el campo magnético tendría que cambiar de sentido (apuntaría hacia fuera del papel \( \odot \)) \[ \boxed{\text{Si fuese un protón, } \vec{B} \text{ tendría que apuntar hacia fuera del papel.}} \]