Ejercicio resuelto de Fuerza magnética (2 de 3)

Solución: El positrón se mueve con velocidad \( \vec{v} = 5 \cdot 10^5 \, \vec{\imath} \, \text{m/s} \) en presencia de un campo eléctrico \( \vec{E} = 10^4 \, \vec{\jmath} \, \text{V/m} \). Queremos que el positrón mantenga \( \textbf{movimiento rectilíneo uniforme} \), por lo que la \( \textbf{fuerza total debe ser nula} \): \[ \vec{F}_\text{total} = \vec{F}_e + \vec{F}_m = 0 \] \[ q\vec{E} + q\vec{v} \times \vec{B} = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} = 0 \] \[ \vec{v} \times \vec{B} = -\vec{E} \] Como \( \vec{v} \) va en la dirección \( \vec{\imath} \) y \( \vec{E} \) en la dirección \( \vec{\jmath} \), necesitamos un \( \vec{B} \) tal que el producto vectorial \( \vec{v} \times \vec{B} \) apunte en dirección \( -\vec{\jmath} \). Aplicando la regla de la mano derecha: \[ \vec{v} \times \vec{B} = -\vec{E} \Rightarrow \vec{B} \text{ debe ir en la dirección } \vec{k} \] El módulo del campo magnético necesario se obtiene igualando el módulo de las fuerzas eléctrica y magnética: \[ F_e = F_m \quad \Rightarrow \quad qE = qvB \quad \Rightarrow \quad B = \frac{E}{v} \] \[ B = \frac{10^4}{5 \cdot 10^5} = 0{,}02 \, \text{T} \] \[ \boxed{\vec{B} = 0{,}02 \, \vec{k} \, \text{T}} \]

Solución: Queremos calcular el radio de la trayectoria circular que describe el positrón si solo actúa el campo magnético \( \vec{B} \) encontrado en el apartado anterior. Cuando una partícula cargada se mueve perpendicularmente a un campo magnético uniforme, describe una trayectoria circular. El radio de esta circunferencia viene dado por: \[ R = \frac{m v}{q B} \] Donde: - \( m = 9{,}11 \cdot 10^{-31} \, \text{kg} \) (masa del positrón, igual a la del electrón) - \( v = 5 \cdot 10^5 \, \text{m/s} \) - \( q = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \) - \( B = 0{,}02 \, \text{T} \) Sustituimos en la fórmula: \[ R = \frac{9{,}11 \cdot 10^{-31} \cdot 5 \cdot 10^5}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}02} \] \[ R = \frac{4{,}555 \cdot 10^{-25}}{3{,}2 \cdot 10^{-21}} = 1{,}42 \cdot 10^{-4} \, \text{m} \] \[ \boxed{R \approx 1{,}4 \cdot 10^{-4} \, \text{m}} \] Por tanto, el radio de la circunferencia que describe el positrón bajo la acción del campo magnético es de aproximadamente \( 0{,}14 \, \text{mm} \).