Ejercicio resuelto de Fuerza magnética (3 de 3)

Solución: El núcleo de deuterio (\( \text{H-2} \)) está formado por un protón y un neutrón, por lo tanto, tiene una \( \textbf{carga positiva} \) de \( q = +e = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \). Se acelera desde el reposo mediante una diferencia de potencial \( \Delta V = -1500 \, \text{V} \), por lo que la energía cinética que adquiere es igual a la energía ganada al atravesar la diferencia de potencial: \[ \Delta E_c = q \cdot |\Delta V| = \frac{1}{2} m v^2 \] Despejamos la velocidad: \[ v = \sqrt{\frac{2 q |\Delta V|}{m}} \] La masa del deuterón es aproximadamente el doble de la del protón: \[ m_{H^+} = 2 m_p = 2 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27} \, \text{kg} \] Sustituyendo valores: \[ v = \sqrt{ \frac{2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 1500}{2 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27}} } \] \[ v = \sqrt{ \frac{4{,}8 \cdot 10^{-16}}{3{,}34 \cdot 10^{-27}} } = \sqrt{1{,}437 \cdot 10^{11}} \approx 3{,}8 \cdot 10^5 \, \text{m/s} \] \[ \boxed{v = 3{,}8 \cdot 10^5 \, \text{m/s}} \]

Solución: Cuando el núcleo de deuterio entra en la región con campo magnético \( B = 0{,}3 \, \text{T} \), perpendicular a su velocidad, describe un \( \textbf{movimiento circular uniforme} \) debido a la fuerza de Lorentz. \( \textbf{Cálculo del radio de giro:} \) La fuerza magnética actúa como fuerza centrípeta: \[ q v B = \frac{m v^2}{R} \quad \Rightarrow \quad R = \frac{m v}{q B} \] Usamos: - \( m = 2 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27} \, \text{kg} \) - \( v = 3{,}8 \cdot 10^5 \, \text{m/s} \) - \( q = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \) - \( B = 0{,}3 \, \text{T} \) \[ R = \frac{2 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 3{,}8 \cdot 10^5}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}3} \approx 2{,}6 \cdot 10^{-2} \, \text{m} \] \[ \boxed{R = 2{,}6 \cdot 10^{-2} \, \text{m} = 2{,}6 \, \text{cm}} \] \( \textbf{Cálculo del período de giro:} \) El período se puede obtener con: \[ T = \frac{2\pi R}{v} \quad \text{o bien} \quad T = \frac{2\pi m}{q B} \] Usamos: - \( m = 2 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27} \, \text{kg} \) - \( q = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \) - \( B = 0{,}3 \, \text{T} \) \[ T = \frac{2\pi \cdot 2 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27}}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}3} \approx 4{,}4 \cdot 10^{-7} \, \text{s} \] \[ \boxed{T = 4{,}4 \cdot 10^{-7} \, \text{s}} \]