Ejercicio - Sistemas homogéneos y discusión de sistemas

Solución: Estudiamos el sistema cuando \( \alpha = 0 \). El sistema queda: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x = 5 \\ x + y + z = 1 \\ x + 2y = 1 \end{array} \right. \] De la primera ecuación despejamos: \[ x = \frac{5}{2} \] Sustituimos este valor de \( x \) en las otras dos ecuaciones: \[ \frac{5}{2} + y + z = 1 \quad \Rightarrow \quad y + z = 1 - \frac{5}{2} = -\frac{3}{2} \quad \text{(1)} \] \[ \frac{5}{2} + 2y = 1 \quad \Rightarrow \quad 2y = 1 - \frac{5}{2} = -\frac{3}{2} \Rightarrow y = -\frac{3}{4} \] Sustituimos el valor de \( y \) en (1): \[ -\frac{3}{4} + z = -\frac{3}{2} \Rightarrow z = -\frac{3}{2} + \frac{3}{4} = -\frac{3}{4} \] Por tanto, la solución del sistema cuando \( \alpha = 0 \) es: \[ \boxed{x = \frac{5}{2}, \quad y = -\frac{3}{4}, \quad z = -\frac{3}{4}} \]

Solución: Estudiamos el sistema cuando \( \alpha = -1 \). El sistema queda: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x - z = 5 \\ x + 2y + z = 1 \\ x + 2y + z = 1 \end{array} \right. \] Observamos que las dos últimas ecuaciones son iguales, por lo tanto el sistema tiene dos ecuaciones linealmente independientes con tres incógnitas ⇒ es un sistema compatible indeterminado (SCI). Eliminamos una de las ecuaciones repetidas. Nos quedamos con: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x - z = 5 \\ x + 2y + z = 1 \end{array} \right. \] Despejamos \( z \) de la primera ecuación: \[ z = 2x - 5 \] Sustituimos en la segunda: \[ x + 2y + (2x - 5) = 1 \Rightarrow 3x + 2y = 6 \Rightarrow 2y = 6 - 3x \Rightarrow y = \frac{6 - 3x}{2} \] Tomamos \( x \) como parámetro libre (por ejemplo, \( x = \lambda \)): \[ x = \lambda, \quad y = \frac{6 - 3\lambda}{2}, \quad z = 2\lambda - 5 \] Por tanto, el conjunto de soluciones del sistema es: \[ \boxed{ \left\{ \begin{array}{l} x = \lambda \\ y = \dfrac{6 - 3\lambda}{2} \\ z = 2\lambda - 5 \end{array} \right. \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R} } \]

Solución: Queremos determinar el valor de \( \alpha \) para el cual el sistema sea incompatible. Para que el sistema sea incompatible, debe cumplirse que: \[ \text{Rg}(A) = 2 < \text{Rg}(A^*) = 3 \] Es decir, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser 0, pero el rango de la matriz ampliada debe ser 3. Matriz de coeficientes: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & \alpha \\ 1 & 1 - \alpha & 1 \\ 1 & 2 & \alpha^2 \end{pmatrix} \] Calculamos su determinante: \[ |A| = 2(1 - \alpha)(\alpha^2) + 0 - \alpha \cdot \left(1(2) - (1 - \alpha)\alpha^2 \right) \] Se puede simplificar directamente con regla de Sarrus o cofactores, y en la imagen ya se tiene: \[ |A| = -\alpha^3 + 3\alpha^2 - 4 = -(\alpha + 1)(\alpha - 1)(\alpha - 2) \] \[ \Rightarrow |A| = 0 \quad \text{cuando } \alpha = -1, \ 1, \ 2 \] Ya vimos que: - Para \( \alpha = -1 \), el sistema es compatible indeterminado (SCI). Estudiamos ahora el caso \( \alpha = 2 \): Sistema: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x - z = 5 \\ x - y + z = 1 \\ x + 2y + 4z = 1 \end{array} \right. \] Matriz de coeficientes: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow |A| = 0 \] Verificamos el rango: tomamos un menor de orden 2: \[ \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -2 \ne 0 \Rightarrow \text{Rg}(A) = 2 \] Verificamos el rango de la matriz ampliada: \[ A^* = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 1 \end{pmatrix} \] Tomamos un menor de orden 3: \[ \begin{vmatrix} 2 & 0 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2(-1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) - 0 + 5(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) = 2(-3) + 5(3) = -6 + 15 = 9 \ne 0 \] \[ \Rightarrow \text{Rg}(A^*) = 3 \] Entonces: \[ \text{Rg}(A) = 2 \ne \text{Rg}(A^*) = 3 \Rightarrow \boxed{\text{Sistema incompatible (SI)}} \] \[ \boxed{\text{El valor de } \alpha \text{ para que el sistema sea incompatible es } \alpha = 2} \]