Ejercicio resuelto de Inducción magnética (1 de 3)

Solución: Queremos determinar la fuerza que actúa sobre un protón que se mueve en un campo magnético generado por una espira circular. \[ \textbf{Datos:} \] \[ \begin{align*} r &= 5\, \text{cm} = 0{,}05\, \text{m} \\ I &= 10\, \text{A} \\ v &= 2 \cdot 10^5\, \text{m/s} \\ q_p &= 1{,}60 \cdot 10^{-19}\, \text{C} \\ \mu_0 &= 4\pi \cdot 10^{-7}\, \text{T} \cdot \text{m/A} \end{align*} \] La espira genera un campo magnético en su centro que, por la ley de Biot–Savart, tiene dirección perpendicular al plano de la espira (en este caso, en el eje \( OZ \), hacia arriba). La expresión del campo magnético en el centro de una espira circular de radio \( R \) es: \[ B_c = \frac{\mu_0 I}{2R} \] Sustituimos los valores: \[ B_c = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 10}{2 \cdot 0{,}05} = \frac{4\pi \cdot 10^{-6}}{0{,}1} = 4\pi \cdot 10^{-5}\, \text{T} \approx 6{,}3 \cdot 10^{-5}\, \text{T} \] La velocidad del protón es perpendicular al campo y se ha elegido en la dirección del eje \( OX \): \[ \vec{v} = 2 \cdot 10^5\, \hat{i}\, \text{m/s} \] El campo magnético apunta en la dirección del eje \( OZ \): \[ \vec{B} = 6{,}3 \cdot 10^{-5}\, \hat{k}\, \text{T} \] La fuerza magnética se calcula con la ley de Lorentz: \[ \vec{F} = q_p (\vec{v} \times \vec{B}) \] Calculamos el producto vectorial: \[ \vec{v} \times \vec{B} = (2 \cdot 10^5\, \hat{i}) \times (6{,}3 \cdot 10^{-5}\, \hat{k}) = 2 \cdot 10^5 \cdot 6{,}3 \cdot 10^{-5}\, (\hat{i} \times \hat{k}) = 12{,}6\, (-\hat{j}) \] Ya que \( \hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j} \) Por tanto, la fuerza es: \[ \vec{F} = 1{,}60 \cdot 10^{-19} \cdot (-12{,}6)\, \hat{j} = -2{,}01 \cdot 10^{-18}\, \hat{j}\, \text{N} \] \[ \textbf{Resultado final:} \] \[ \vec{F} = -2{,}01 \cdot 10^{-18}\, \hat{j}\, \text{N} \] \[ \textbf{Dirección:} \quad \text{Eje } OY \quad (\text{perpendicular a } \vec{v} \text{ y } \vec{B}) \] \[ \textbf{Sentido:} \quad \text{Negativo del eje } OY \] \[ \textbf{Módulo:} \quad |\vec{F}| = 2{,}01 \cdot 10^{-18}\, \text{N} \]