Ejercicio - Aplicaciones del magnetismo (I)

Ejercicio de Campo magnético

\( \textbf{Ejercicio.} \) La desintegración de un muón se describe según la ecuación: \[ \mu^- \rightarrow e^- + \bar{\nu}_e + \nu_\mu \] Es decir, el muón se descompone en un electrón, un antineutrino electrónico y un neutrino muónico. Considera que un muón penetra en un campo magnético perpendicular a su velocidad y resuelve estos apartados:

a) Describe la trayectoria previa del muón.

b) Describe la trayectoria de las nuevas partículas.

c) Calcula la relación que hay entre los radios de las trayectorias del muón y del electrón. Supón que tienen la misma velocidad.

Solución de los Apartados

a) Describe la trayectoria previa del muón.

Solución: Un muón cargado negativamente se mueve en un campo magnético perpendicular a su velocidad. Debido a la fuerza de Lorentz, describe un movimiento circular uniforme (MCU). \[ \textbf{Fuerza centrípeta:} \quad F_c = \frac{m_\mu v^2}{R} \] \[ \textbf{Fuerza magnética:} \quad F_B = |q_\mu| \cdot v \cdot B \] Igualamos ambas expresiones: \[ \frac{m_\mu v^2}{R_\mu} = |q_\mu| v B \] Despejamos el radio \( R_\mu \) de la trayectoria del muón: \[ R_\mu = \frac{m_\mu v}{|q_\mu| B} \] Como la carga del muón es negativa, el sentido del giro se obtiene aplicando la regla de la mano izquierda. Por tanto, el muón describe un movimiento circular uniforme en un plano perpendicular al campo, con el sentido determinado por el signo de la carga y la dirección del vector velocidad. Resultado: La trayectoria del muón es un círculo de radio \( R_\mu = \frac{m_\mu v}{|q_\mu| B} \), con sentido determinado por la regla de la mano izquierda.

b) Describe la trayectoria de las nuevas partículas.

Solución: Tras la desintegración del muón, se generan varias partículas. Una de ellas es el electrón, que también tiene carga negativa. El electrón, al estar sometido al mismo campo magnético y teniendo también una velocidad perpendicular al campo, describirá una trayectoria circular uniforme (MCU), como el muón. La fórmula del radio de esta trayectoria es: \[ R_e = \frac{m_e v}{|q_e| B} \] Como la masa del electrón \( m_e \) es mucho menor que la del muón \( m_\mu \), su radio será menor, siempre que tengan la misma velocidad. Por tanto, el electrón describe una trayectoria circular en el mismo sentido que el muón, pero con un radio más pequeño. En cuanto a las otras partículas generadas: - El antineutrino electrónico \( \bar{\nu}_e \) y el neutrino muónico \( \nu_\mu \) no tienen carga eléctrica, por lo tanto no interaccionan con el campo magnético. - Estas partículas seguirán un movimiento rectilíneo uniforme (MRU), guiado únicamente por la energía cinética que obtuvieron en la desintegración. Resultado: El electrón describe un MCU en el mismo sentido que el muón pero con menor radio, y los neutrinos se mueven en línea recta sin verse afectados por el campo magnético.

c) Calcula la relación que hay entre los radios de las trayectorias del muón y del electrón. Supón que tienen la misma velocidad.

Solución: Queremos calcular la relación entre los radios de las trayectorias del muón y del electrón, suponiendo que ambos tienen la misma velocidad \( v \). Sabemos que el radio de una trayectoria circular en un campo magnético se obtiene mediante: \[ R = \frac{m v}{|q| B} \] Por tanto, la relación entre los radios del electrón y del muón será: \[ \frac{R_e}{R_\mu} = \frac{\frac{m_e v}{|q_e| B}}{\frac{m_\mu v}{|q_\mu| B}} = \frac{m_e}{m_\mu} \] Dado que \( q_e = q_\mu \) en valor absoluto y \( v \), \( B \) se cancelan, solo queda la relación de masas: \[ \frac{R_e}{R_\mu} = \frac{m_e}{m_\mu} \] Utilizando los valores conocidos: \[ \frac{m_e}{m_\mu} \approx 4{,}8 \cdot 10^{-3} \] Resultado: El radio de la trayectoria del electrón es aproximadamente \( 4{,}8 \cdot 10^{-3} \) veces el del muón, es decir, mucho más pequeño.