Ejercicio - Introducción a la inducción electromagnética
Ejercicio de Inducción electromagnética
\( \textbf{Ejercicio.} \)
Una bobina está formada por \( 100 \) espiras, cada una de \( 20\, \text{cm}^2 \) de superficie. La bobina gira en torno a su eje, dispuesta en el plano \( XY \), con una frecuencia de \( 50\, \text{Hz} \).
La bobina se encuentra en el seno de un campo magnético uniforme de \( 2\, \text{T} \) de intensidad orientado en la dirección negativa del eje \( OZ \).
a) Escribe la expresión del flujo de campo magnético a través de la bobina. ¿Qué valor tiene en el instante en que es máximo? ¿En qué posición se encuentra la bobina respecto al campo magnético?
b) Determina la expresión de la fem inducida en función del tiempo. ¿Cuál es su valor máximo? ¿En qué posición se encuentra la bobina respecto al campo en ese momento?
Solución de los Apartados
a) Escribe la expresión del flujo de campo magnético a través de la bobina. ¿Qué valor tiene en el instante en que es máximo? ¿En qué posición se encuentra la bobina respecto al campo magnético?
Solución: La expresión general del flujo magnético a través de una bobina girando en un campo magnético es:
\[
\Phi(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t)
\]
Donde:
\[
\begin{align*}
N &= 100 \quad (\text{número de espiras}) \\
B &= 2\, \text{T} \quad (\text{intensidad del campo magnético}) \\
S &= 20\, \text{cm}^2 = 20 \cdot 10^{-4}\, \text{m}^2 = 2 \cdot 10^{-3}\, \text{m}^2 \\
f &= 50\, \text{Hz} \Rightarrow \omega = 2\pi f = 100\pi\, \text{rad/s}
\end{align*}
\]
\[
\Phi(t) = 100 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10^{-3} \cdot \cos(\omega t) = 0{,}4 \cdot \cos(\omega t)\, \text{Wb}
\]
El valor máximo del flujo ocurre cuando \( \cos(\omega t) = 1 \):
\[
\Phi_{\text{máx}} = 0{,}4\, \text{Wb}
\]
En este instante, el plano de la bobina es perpendicular al campo magnético (la normal al plano de la espira está alineada con el campo magnético).
Resultado: El flujo magnético es máximo y vale 0,4 Wb cuando la bobina está perpendicular al campo magnético.
b) Determina la expresión de la fem inducida en función del tiempo. ¿Cuál es su valor máximo? ¿En qué posición se encuentra la bobina respecto al campo en ese momento?
Solución: Para hallar la fuerza electromotriz (fem) inducida en la bobina, usamos la ley de Faraday-Lenz:
\[
\mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi(t)}{dt}
\]
Ya sabemos que el flujo magnético es:
\[
\Phi(t) = 0{,}4 \cdot \cos(\omega t)
\]
Calculamos su derivada respecto al tiempo:
\[
\mathcal{E}(t) = -\frac{d}{dt}\left( 0{,}4 \cdot \cos(\omega t) \right) = -0{,}4 \cdot (-\omega \cdot \sin(\omega t)) = 0{,}4 \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)
\]
Sustituimos \( \omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50 = 100\pi \, \text{rad/s} \):
\[
\mathcal{E}(t) = 0{,}4 \cdot 100\pi \cdot \sin(100\pi t)
\]
\[
\mathcal{E}(t) = 40\pi \cdot \sin(100\pi t)\, \text{V}
\]
\[
\mathcal{E}_{\text{máx}} = 40\pi \approx 125{,}66\, \text{V}
\]
Este valor máximo ocurre cuando \( \sin(100\pi t) = 1 \), es decir, cuando la bobina está en la posición de flujo nulo, es decir, cuando su plano es paralelo al campo magnético (la normal a la bobina es perpendicular al campo).
Resultado: La fem inducida es \( \mathcal{E}(t) = 40\pi \cdot \sin(100\pi t) \, \text{V} \). Su valor máximo es aproximadamente 125,66 V y se alcanza cuando la bobina está paralela al campo magnético.