Ejercicio - Indeterminaciones (I)

Solución: Este límite es una indeterminación del tipo \( \infty - \infty \), ya que ambos radicales tienden a infinito cuando \( x \to \infty \). Para resolverla, multiplicamos y dividimos por el conjugado de la expresión: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{5x^2 + 4x - 1} - \sqrt{5x^2 - 6x} \right) \cdot \frac{\sqrt{5x^2 + 4x - 1} + \sqrt{5x^2 - 6x}}{\sqrt{5x^2 + 4x - 1} + \sqrt{5x^2 - 6x}} \] Aplicamos el producto notable \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) en el numerador: \[ = \lim_{x \to \infty} \frac{(5x^2 + 4x - 1) - (5x^2 - 6x)}{\sqrt{5x^2 + 4x - 1} + \sqrt{5x^2 - 6x}} \] Desarrollamos el numerador: \[ (5x^2 + 4x - 1) - (5x^2 - 6x) = 5x^2 + 4x - 1 - 5x^2 + 6x = 10x - 1 \] Quedando: \[ = \lim_{x \to \infty} \frac{10x - 1}{\sqrt{5x^2 + 4x - 1} + \sqrt{5x^2 - 6x}} \] Sacamos factor común en los radicales para simplificar: \[ \sqrt{5x^2 + 4x - 1} = x \sqrt{5 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}}, \quad \sqrt{5x^2 - 6x} = x \sqrt{5 - \frac{6}{x}} \] Entonces: \[ = \lim_{x \to \infty} \frac{10x - 1}{x \left( \sqrt{5 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}} + \sqrt{5 - \frac{6}{x}} \right)} \] Dividimos numerador y denominador por \( x \): \[ = \lim_{x \to \infty} \frac{10 - \frac{1}{x}}{\sqrt{5 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}} + \sqrt{5 - \frac{6}{x}}} \] Cuando \( x \to \infty \), los términos con \( \frac{1}{x} \) y \( \frac{1}{x^2} \) tienden a 0. Por tanto: \[ = \frac{10}{\sqrt{5} + \sqrt{5}} = \frac{10}{2\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \] \[ \boxed{\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{5x^2 + 4x - 1} - \sqrt{5x^2 - 6x} \right) = \sqrt{5}} \]