Ejercicio - Ley de Faraday y Fuerza Electromotriz (FEM)
Ejercicio de Inducción electromagnética
\( \textbf{Ejercicio.} \) La intensidad de un campo magnético varía con el tiempo según: \[ B(t) = 2\cos(4\pi t) \quad (\text{en unidades del SI}) \] El campo magnético atraviesa perpendicularmente una espira circular de \( 10\, \text{cm} \) de radio.
a) Determina el flujo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo.
b) Calcula la fuerza electromotriz que se induce en la espira.
c) Encuentra el sentido de la corriente inducida en función del sentido del campo. ¿Qué tipo de corriente se genera?
Solución de los Apartados
a) Determina el flujo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo.
Solución: El flujo magnético que atraviesa una espira circular se calcula mediante: \[ \Phi(t) = B(t) \cdot S \] Donde: \[ \begin{align*} r &= 10\, \text{cm} = 0{,}1\, \text{m} \\ S &= \pi r^2 = \pi (0{,}1)^2 = \pi \cdot 10^{-2} = 3{,}14 \cdot 10^{-2}\, \text{m}^2 \\ B(t) &= 2\cos(4\pi t)\, \text{T} \end{align*} \] Sustituimos: \[ \Phi(t) = 2\cos(4\pi t) \cdot \pi \cdot 10^{-2} \] \[ \Phi(t) = 2 \cdot \pi \cdot 10^{-2} \cos(4\pi t) = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 10^{-2} \cos(4\pi t) \] \[ \Phi(t) = 6{,}28 \cdot 10^{-2} \cos(4\pi t) = 6,28 \cdot 10^{-2} \cos(4\pi t)\, \text{Wb} \] Resultado: La expresión del flujo magnético en función del tiempo es: \[ \Phi(t) = 6{,}28 \cdot 10^{-2} \cos(4\pi t)\, \text{Wb} \]
b) Calcula la fuerza electromotriz que se induce en la espira.
Solución: Para calcular la fuerza electromotriz (fem) inducida, aplicamos la ley de Faraday-Lenz: \[ \varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} \] Partimos de la expresión obtenida para el flujo magnético: \[ \Phi(t) = 6{,}28 \cdot 10^{-2} \cos(4\pi t) \] Calculamos su derivada: \[ \frac{d\Phi}{dt} = 6{,}28 \cdot 10^{-2} \cdot (-4\pi) \sin(4\pi t) = -6{,}28 \cdot 4\pi \cdot 10^{-2} \sin(4\pi t) \] \[ \frac{d\Phi}{dt} = -6{,}28 \cdot 12{,}57 \cdot 10^{-2} \sin(4\pi t) \] \[ \frac{d\Phi}{dt} = -79 \cdot 10^{-2} \sin(4\pi t) = -0{,}79 \sin(4\pi t) \] La fem inducida es: \[ \varepsilon(t) = -(-0{,}79 \sin(4\pi t)) = 0{,}79 \sin(4\pi t)\, \text{V} \] Resultado: La expresión de la fuerza electromotriz inducida en la espira en función del tiempo es: \[ \varepsilon(t) = 0{,}79 \sin(4\pi t)\, \text{V} \]
c) Encuentra el sentido de la corriente inducida en función del sentido del campo. ¿Qué tipo de corriente se genera?
Solución: El sentido de la intensidad inducida en la espira depende del signo de la fuerza electromotriz inducida (fem), que a su vez depende de la derivada del flujo magnético: \[ \varepsilon(t) = 0{,}79 \sin(4\pi t) \] El término \( \sin(4\pi t) \) alterna entre positivo y negativo en cada ciclo. Por tanto: - Cuando \( \sin(4\pi t) > 0 \), la fem inducida es positiva y el sentido de la corriente inducida es tal que genera un campo magnético opuesto al cambio de flujo (ley de Lenz). - Cuando \( \sin(4\pi t) < 0 \), la fem inducida es negativa y el sentido de la corriente se invierte. La corriente inducida, por tanto, cambia de sentido cada medio ciclo. Dado que la variación de la fem sigue una función senoidal, la corriente inducida también tendrá una forma alternante. Resultado: La corriente inducida cambia de sentido cada medio ciclo, generándose así una corriente alterna. El sentido exacto en cada momento se determina por la ley de Lenz, que establece que la corriente inducida se opone a la variación del flujo que la produce.