Ejercicio resuelto de Ondas longitudinales

Solución: La velocidad de propagación del sonido en un gas está dada por la expresión: \[ v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}} \] Donde: \[ \begin{align*} \gamma & : \text{coeficiente adiabático} \\ R & : \text{constante universal de los gases} \\ T & : \text{temperatura absoluta (en Kelvin)} \\ M & : \text{masa molar del gas} \end{align*} \] Para comparar las velocidades en helio y en aire, tomamos la relación: \[ \frac{v_{\text{He}}}{v_{\text{aire}}} = \sqrt{\frac{\gamma_{\text{He}} M_{\text{aire}}}{\gamma_{\text{aire}} M_{\text{He}}}} \] Sustituimos los valores: \[ \gamma_{\text{He}} = 1{,}66, \quad M_{\text{He}} = 4\, \text{g/mol} \] \[ \gamma_{\text{aire}} = 1{,}4, \quad M_{\text{aire}} = 28{,}8\, \text{g/mol} \] \[ \frac{v_{\text{He}}}{v_{\text{aire}}} = \sqrt{\frac{1{,}66 \cdot 28{,}8}{1{,}4 \cdot 4}} = \sqrt{\frac{47{,}808}{5{,}6}} = \sqrt{8{,}54} \approx 2{,}9 \] \[ \textbf{Resultado:} \quad \text{La velocidad del sonido en helio es aproximadamente 2,9 veces la velocidad del sonido en el aire.} \]

Solución: La frecuencia del sonido percibido está relacionada con la velocidad de propagación y la longitud de onda de la voz: \[ f = \frac{v}{\lambda} \] Cuando una persona habla, la longitud de onda \( \lambda \) de su voz (determinada por las cuerdas vocales) permanece constante. Por lo tanto, el cambio en la velocidad de propagación del sonido determina directamente el cambio en la frecuencia. \[ \frac{f_{\text{He}}}{f_{\text{aire}}} = \frac{v_{\text{He}}}{v_{\text{aire}}} \] Usando el valor de la relación de velocidades obtenido en el apartado anterior: \[ \frac{f_{\text{He}}}{f_{\text{aire}}} = 2{,}9 \] \[ f_{\text{He}} = 2{,}9 \cdot f_{\text{aire}} \] \[ \textbf{Resultado:} \quad \text{La frecuencia de la voz en helio es aproximadamente 2,9 veces mayor que en el aire, provocando un tono más agudo.} \]

Solución: Si en lugar de helio, la persona hubiera inhalado dióxido de carbono (\( \text{CO}_2 \)), la situación cambiaría: El dióxido de carbono tiene una masa molar mucho mayor que la del aire: \[ M_{\text{CO}_2} = 44\, \text{g/mol} \] \[ M_{\text{aire}} = 28{,}8\, \text{g/mol} \] Además, el coeficiente adiabático del dióxido de carbono es: \[ \gamma_{\text{CO}_2} = 1{,}3 \] La relación de velocidades sería: \[ \frac{v_{\text{CO}_2}}{v_{\text{aire}}} = \sqrt{\frac{\gamma_{\text{CO}_2} M_{\text{aire}}}{\gamma_{\text{aire}} M_{\text{CO}_2}}} \] \[ \frac{v_{\text{CO}_2}}{v_{\text{aire}}} = \sqrt{\frac{1{,}3 \cdot 28{,}8}{1{,}4 \cdot 44}} = \sqrt{\frac{37{,}44}{61{,}6}} = \sqrt{0{,}61} \approx 0{,}78 \] Resultado: La velocidad del sonido en dióxido de carbono es menor que en el aire. Como consecuencia, la frecuencia de la voz disminuiría, haciendo que la voz suene más grave.