Ejercicio - Continuidad

Solución: Vamos a analizar la continuidad de la función en tres fases: \[ \textbf{1) Estudio de la continuidad en cada tramo:} \] La expresión \( x^2 + x - 4 \) es un polinomio. Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio, que en este caso es \( \mathbb{R} \). Por tanto, esta parte de la función es continua en el intervalo \( (-\infty, 1] \). La expresión \( e^{x - 1} - 2 \) es una función compuesta de una exponencial, una traslación y una resta constante. Como cada una de estas operaciones preserva la continuidad, esta función también es continua en su dominio \( (1, \infty) \). \[ \textbf{Conclusión parcial:} \quad f(x) \text{ es continua en } (-\infty, 1) \cup (1, \infty) \] \[ \textbf{2) Estudio de la continuidad en el punto de enlace } x = 1: \] Para que la función sea continua en \( x = 1 \), deben cumplirse las tres condiciones de continuidad: - \( f(1) \) existe, - \( \displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) \) existe, - \( \displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \) Analizamos cada una: La función está definida en \( x = 1 \) mediante el primer tramo: \[ f(1) = 1^2 + 1 - 4 = -2 \quad \Rightarrow \quad f(1) \text{ existe} \] Calculamos el límite por la izquierda: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + x - 4) = 1^2 + 1 - 4 = -2 \] Calculamos el límite por la derecha: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (e^{x - 1} - 2) = e^0 - 2 = 1 - 2 = -1 \] \[ \textbf{3) Comparación de los límites laterales:} \] Los dos límites laterales no coinciden: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = -2 \ne -1 = \lim_{x \to 1^+} f(x) \] \[ \Rightarrow \text{El límite } \lim_{x \to 1} f(x) \text{ no existe} \] \[ \Rightarrow \text{La función no es continua en } x = 1 \] \[ \boxed{ \text{La función presenta una discontinuidad de salto en } x = 1 } \]