Ejercicio resuelto de Intensidad sonora (1 de 2)

Solución: La intensidad sonora deseada es: \[ \beta = \log \frac{I}{I_0} = 5{,}0\, \text{B} \quad (\text{dado que } 1\, \text{B} = 10\, \text{dB}) \] \[ \frac{I}{I_0} = 10^5 \quad \Rightarrow \quad I = 10^5 I_0 \] El umbral de audición es: \[ I_0 = 10^{-12}\, \text{W/m}^2 \] \[ I = 10^5 \cdot 10^{-12} = 10^{-7}\, \text{W/m}^2 \] La intensidad también se expresa como: \[ I = \frac{P}{4 \pi x^2} \] Despejamos la potencia \( P \): \[ P = I \cdot 4 \pi x^2 \] \[ x = 3000\, \text{m} \] \[ P = 10^{-7} \cdot 4 \pi \cdot (3000)^2 \] \[ P = 10^{-7} \cdot 4 \pi \cdot 9 \cdot 10^6 = 10^{-7} \cdot 1{,}13 \cdot 10^8 = 11{,}3\, \text{W} \] \[ \textbf{Resultado:} \quad \text{La potencia necesaria para que el compañero lo escuche con } 50\, \text{dB} \text{ es aproximadamente } 11{,}3\, \text{W}. \]

Solución: Si el sonido se refleja en la parte inferior del valle, debe sumarse a la intensidad directa la correspondiente a la reflexión. La distancia corregida se obtiene con el teorema de Pitágoras: \[ r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(1500\, \text{m})^2 + (60\, \text{m})^2} = \sqrt{2250000 + 3600} = \sqrt{2253600} \approx 1501\, \text{m} \] Como el sonido se refleja y recorre la distancia dos veces: \[ r_{\text{total}} = 2 \cdot 1501 = 3002\, \text{m} \] La nueva intensidad sonora es: \[ I_{\text{nueva}} = \sum \frac{P}{4 \pi r^2} = 10^{-7} + \frac{11,3}{4 \pi \cdot (3002)^2} \approx 10^{-7} + 10^{-7} = 2 \cdot 10^{-7}\, \text{W/m}^2 \] El nivel de intensidad sonora se calcula: \[ \beta = \log \frac{I}{I_0} = \log \frac{2 \cdot 10^{-7}}{10^{-12}} = \log (2 \cdot 10^5) = \log 2 + \log 10^5 = 0,3 + 5 = 5,3\, \text{B} = 53\, \text{dB} \] \[ \textbf{Resultado:} \quad \text{El nivel de intensidad sonora en este caso es aproximadamente } 53\, \text{dB}. \]

Solución: La interferencia destructiva puede producirse si la diferencia de caminos recorridos por las ondas reflejadas y directas es un número impar de semilongitudes de onda. La diferencia de caminos es: \[ \Delta r = 3002{,}4 - 3000 = 2{,}4\, \text{m} \] Para la frecuencia \( f = 2100\, \text{Hz} \): \[ \lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{2100} \approx 0{,}16\, \text{m} \] La relación entre la diferencia de caminos y la longitud de onda es: \[ \frac{\Delta r}{\lambda} = \frac{2{,}4}{0{,}16} = 15 \] La relación es muy próxima a 15, un número impar. Por tanto, se podría producir interferencia destructiva en un punto cercano al pastor. \[ \textbf{Resultado:} \quad \text{La interferencia destructiva podría ocurrir cerca del pastor para esta frecuencia.} \]