Ejercicio - Velocidad y aceleración del MAS
Ejercicio de Movimiento armónico
\( \textbf{Ejercicio.} \) La aguja de una máquina de coser oscila con un desplazamiento vertical de \(15\, \text{mm}\) de un extremo a otro. En las especificaciones del fabricante se indica que la aguja hace 1200 puntadas por minuto. Considera que la aguja describe un MHS y responde:
a) Escribe la ecuación del movimiento y representa el gráfico posición-tiempo durante dos periodos, suponiendo que en el instante inicial la aguja se encuentra en la posición más alta.
b) Calcula la velocidad y la aceleración máximas de la aguja.
Solución de los Apartados
a) Escribe la ecuación del movimiento y representa el gráfico posición-tiempo durante dos periodos, suponiendo que en el instante inicial la aguja se encuentra en la posición más alta.
Solución: Los datos del enunciado son: \[ A = 15\, \text{mm} = 1,5 \cdot 10^{-2}\, \text{m} \] La frecuencia angular es: \[ \omega = \frac{1200\, \text{ciclos}}{\text{min}} \cdot \frac{1\, \text{min}}{60\, \text{s}} \cdot \frac{2\pi\, \text{rad}}{\text{ciclo}} = 40\pi\, \text{rad/s} \] Como el movimiento comienza en \( y = A \) para \( t=0\, \text{s} \), es recomendable usar el coseno para describir el movimiento: \[ y = A \cos(\omega t + \theta_0) = 1,5 \cdot 10^{-2} \cos(40\pi t) \]
b) Calcula la velocidad y la aceleración máximas de la aguja.
Solución: La velocidad máxima de la aguja se calcula como: \[ v_{\text{máx}} = \omega A = 40\pi \cdot 1,5 \cdot 10^{-2} = 1,88\, \text{m/s} \] La aceleración máxima es: \[ a_{\text{máx}} = \omega^2 A = (40\pi)^2 \cdot 1,5 \cdot 10^{-2} = 7,4 \cdot 10^{2}\, \text{m/s}^2 \]