Ejercicio - Velocidad y aceleración del MAS

Solución: El desplazamiento máximo (amplitud) es la mitad del recorrido total: \[ A = \frac{20\, \text{cm}}{2} = 10\, \text{cm} = 10,0 \cdot 10^{-2}\, \text{m} \] La velocidad angular del motor es: \[ \omega = 1,91 \cdot 10^3\, \frac{\text{rev}}{\text{min}} \cdot \frac{2\pi\, \text{rad}}{\text{rev}} \cdot \frac{1\, \text{min}}{60\, \text{s}} = 63,7\pi\, \text{rad/s} \] Proponemos la ecuación del movimiento armónico: \[ y = A \cos(\omega t + \theta_0) = 10,0 \cdot 10^{-2} \cos(63,7\pi t + \theta_0) \] Sabemos que en \( t=0 \), el pistón está a \( y=5,0\, \text{cm}=5,0 \cdot 10^{-2}\, \text{m} \). Sustituyendo: \[ 10,0 \cdot 10^{-2} \cos(\theta_0) = 5,0 \cdot 10^{-2} \] \[ \cos(\theta_0) = \frac{1}{2} \] \[ \theta_0 = \frac{\pi}{3} \quad \text{o} \quad \theta_0 = -\frac{\pi}{3} \] La ecuación del movimiento resultante es: \[ y = 10,0 \cdot 10^{-2} \cos(63,7\pi t + \frac{\pi}{3})\, \text{m} \]

Solución: La velocidad en un MAS es: \[ v = -\omega A \sin(\omega t + \theta_0) \] La velocidad máxima es: \[ v_{\text{máx}} = \omega A = 63,7\pi \cdot 10,0 \cdot 10^{-2} = 20\, \text{m/s} \] La aceleración máxima es: \[ a_{\text{máx}} = \omega^2 A = (63,7\pi)^2 \cdot 10,0 \cdot 10^{-2} = 4000\, \text{m/s}^2 \] La velocidad máxima se alcanza cuando \(\sin(\omega t + \theta_0) = \pm 1\), es decir, cuando: \[ \omega t + \theta_0 = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad (n \in \mathbb{Z}) \] La aceleración máxima se alcanza cuando \(\cos(\omega t + \theta_0) = \pm 1\), es decir, cuando: \[ \omega t + \theta_0 = n\pi \quad (n \in \mathbb{Z}) \]