Ejercicio - Fuerzas recuperadoras y péndulos
Ejercicio de Movimiento armónico
\( \textbf{Ejercicio.} \) Una masa de 4 kg está unida al extremo de un muelle con constante recuperadora \( k = \pi^2 \, \text{N/m} \). El conjunto se encuentra sobre una mesa horizontal sin rozamiento. El muelle se estira 20 cm y se deja en reposo con una velocidad \( v_0 = 0 \), de manera que la masa experimenta un movimiento vibratorio armónico simple.
a) ¿Cuál es la frecuencia del movimiento?
b) Escribe las ecuaciones posición-tiempo \( x(t) \) y velocidad-tiempo \( v(t) \) para el movimiento de la masa.
Solución de los Apartados
a) ¿Cuál es la frecuencia del movimiento?
Solución: Para determinar la frecuencia angular \( \omega \) de un oscilador formado por una masa unida a un muelle, se emplea la siguiente fórmula: \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \] Se sustituyen los valores: \[ k = \pi^2 \, \text{N/m}, \quad m = 4 \, \text{kg} \] \[ \omega = \sqrt{\frac{\pi^2}{4}} = \sqrt{\frac{\pi^2}{4}} = \frac{\pi}{2} \, \text{rad/s} \] Por lo tanto, la frecuencia angular del movimiento es: \[ \omega = \frac{\pi}{2} \, \text{rad/s} \]
b) Escribe las ecuaciones posición-tiempo \( x(t) \) y velocidad-tiempo \( v(t) \) para el movimiento de la masa.
Solución: Como el movimiento comienza desde su máxima elongación positiva y con velocidad inicial nula, la ecuación del movimiento puede expresarse con un coseno y fase inicial igual a cero: \[ x(t) = A \cos(\omega t) \] Donde: \[ A = 0{,}20 \, \text{m} \quad (\text{amplitud}) \] \[ \omega = \frac{\pi}{2} \, \text{rad/s} \] Por lo tanto, la ecuación posición-tiempo es: \[ x(t) = 0{,}20 \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right) \] La velocidad se obtiene derivando la expresión de la posición respecto al tiempo: \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = -0{,}20 \cdot \frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right) \] \[ v(t) = -0{,}10 \pi \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right) \] Por lo tanto, las ecuaciones que describen el movimiento de la masa son: \[ x(t) = 0{,}20 \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right) \] \[ v(t) = -0{,}10 \pi \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right) \]