Ejercicio - Fuerzas recuperadoras y péndulos

Solución: La amplitud del movimiento es \( A = 0{,}25 \, \text{m} \). Por tanto, se descarta la opción a), que tiene una amplitud diferente. Para las demás expresiones, como todas tienen forma de coseno, planteamos la ecuación general: \[ x(t) = 0{,}25 \cos(\omega t + \theta_0) \] En \( t=0 \), la posición es: \[ x(0) = 0{,}25 \cos(\theta_0) = 0{,}20 \] Despejamos el coseno: \[ \cos(\theta_0) = \frac{0{,}20}{0{,}25} = 0{,}8 \] Entonces: \[ \theta_0 = \pm 0{,}64 \, \text{rad} \] Para determinar el signo de \( \theta_0 \), obtenemos la expresión de la velocidad: \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = -0{,}25 \omega \sin(\omega t + \theta_0) \] En \( t=0 \): \[ v(0) = -0{,}25 \omega \sin(\theta_0) \] Sabemos que la velocidad inicial es \( v(0) = 6{,}0 \, \text{m/s} \) y es positiva, por lo que: \[ \sin(\theta_0) < 0 \quad \rightarrow \quad \theta_0 = -0{,}64 \, \text{rad} \] Por tanto, la fase inicial es \( \theta_0 = -0{,}64 \, \text{rad} \) y la amplitud \( A=0{,}25\, \text{m} \). Así, la opción correcta es: \[ x(t) = 0{,}25 \cos(40t - 0{,}64) \]

Solución: La ecuación general de la posición en un movimiento armónico simple es: \[ x(t) = A \cos(\omega t + \theta_0) \] Donde: \[ A = 0{,}25 \, \text{m}, \quad \omega = 40 \, \text{rad/s} \] La derivada de la posición respecto al tiempo nos da la velocidad: \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \theta_0) \] Para \( t=0 \): \[ x(0) = A \cos(\theta_0) = 0{,}20 \, \text{m} \] \[ \cos(\theta_0) = \frac{0{,}20}{0{,}25} = 0{,}8 \] \[ \theta_0 = \pm 0{,}64 \, \text{rad} \] La velocidad inicial es: \[ v(0) = -A \omega \sin(\theta_0) = -0{,}25 \cdot 40 \cdot \sin(\theta_0) \] \[ v(0) = -10 \sin(\theta_0) = 6 \, \text{m/s} \] \[ \sin(\theta_0) = -\frac{6}{10} = -0{,}6 \] Como \(\sin(\theta_0) < 0\), la fase inicial debe ser negativa: \[ \theta_0 = -0{,}64 \, \text{rad} \] Por lo tanto, la ecuación que describe el movimiento es: \[ x(t) = 0{,}25 \cos(40t - 0{,}64) \] Que corresponde a la opción: \[ \boxed{\text{c) } x(t) = 0{,}25 \cos(40t - 0{,}64)} \]

Solución: Sabemos que las condiciones iniciales son: \[ x(0) = 0{,}20\, \text{m}, \quad v(0)=6\, \text{m/s} \] La amplitud es: \[ A=0{,}25\, \text{m} \] La ecuación general del movimiento es: \[ x(t) = A \cos(\omega t + \theta_0) \] \[ v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \theta_0) \] En \( t=0 \): \[ x(0)=A \cos(\theta_0) = 0{,}20 \] \[ \cos(\theta_0)= \frac{0{,}20}{0{,}25} = 0{,}8 \] \[ \theta_0= \pm 0{,}64\, \text{rad} \] Para la velocidad inicial: \[ v(0) = -A \omega \sin(\theta_0) = -0{,}25 \cdot 40 \cdot \sin(\theta_0) \] \[ v(0)= -10 \sin(\theta_0) = 6 \] \[ \sin(\theta_0) = -\frac{6}{10} = -0{,}6 \] Como \(\sin(\theta_0)<0\), la fase inicial es: \[ \theta_0 = -0{,}64\, \text{rad} \] Por lo tanto, la ecuación correcta es: \[ x(t) = 0{,}25 \cos(40t - 0{,}64) \] Que corresponde a la opción: \[ \boxed{\text{c) } x(t) = 0{,}25 \cos(40t - 0{,}64)} \]

Solución: La ecuación propuesta en la opción d) es: \[ x(t)= 0{,}25 \cos(40t + 0{,}64) \] La amplitud: \[ A=0{,}25\, \text{m} \] La ecuación general del movimiento es: \[ x(t) = A \cos(\omega t + \theta_0) \] En \( t=0 \): \[ x(0)= 0{,}25 \cos(0{,}64) = 0{,}25 \cdot 0{,}8 = 0{,}20\, \text{m} \] La velocidad inicial es: \[ v(t)= -A \omega \sin(\omega t + \theta_0) \] \[ v(0)= -0{,}25 \cdot 40 \cdot \sin(0{,}64) = -10 \cdot 0{,}6 = -6\, \text{m/s} \] La velocidad inicial resultante es negativa (\(-6\, \text{m/s}\)), pero la condición del problema indica que \( v(0)= 6\, \text{m/s} \). Por tanto, la ecuación de la opción d) no cumple la condición de velocidad inicial positiva. \[ \boxed{\text{La opción d) no es correcta porque no satisface la condición } v(0)=6\, \text{m/s}} \]