Ejercicio - Energía en el MAS

Solución: El período del movimiento de un péndulo simple está dado por la fórmula: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \] Donde: \[ L = 3\, \text{m} \quad (\text{longitud de la cuerda}) \] \[ g = 9{,}8\, \text{m/s}^2 \quad (\text{aceleración de la gravedad}) \] Sustituimos los valores: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{3}{9{,}8}} \approx 2\pi \sqrt{0{,}306} \approx 2\pi \cdot 0{,}55 \approx 3{,}47\, \text{s} \] \[ \boxed{T \approx 3{,}47\, \text{s}} \] Por lo tanto, el período del movimiento del péndulo es aproximadamente \( 3{,}47\, \text{s} \).

Solución: Como la tensión de la cuerda es perpendicular a la trayectoria y es la única fuerza no conservativa (no consideramos el rozamiento con el aire), la energía mecánica del sistema se conserva. Situamos el origen de la energía potencial en el punto más bajo de la trayectoria. En este punto, toda la energía mecánica se convierte en energía cinética. La energía potencial inicial es: \[ E_{p0} = m g h = m g L (1 - \cos \alpha) \] Donde: \[ m = 1\, \text{kg} \] \[ L = 3\, \text{m} \] \[ g = 9{,}8\, \text{m/s}^2 \] Necesitamos determinar el ángulo \(\alpha\). La abertura inicial es de \(0{,}20\, \text{m}\): \[ \alpha = \frac{\Delta s}{L} = \frac{0{,}20}{3} \approx 0{,}07\, \text{rad} \] Sustituimos en la fórmula de la energía potencial inicial: \[ E_{c} = m g L (1 - \cos 0{,}07) \] \[ \cos(0{,}07) \approx 0{,}9975 \] \[ 1 - \cos(0{,}07) = 0{,}0025 \] \[ E_{c} = 1 \cdot 9{,}8 \cdot 3 \cdot 0{,}0025 = 0{,}0735\, \text{J} \] \[ E_{c} \approx 0{,}065\, \text{J} \] Por lo tanto, la energía cinética en el punto de equilibrio es: \[ \boxed{E_{c} \approx 0{,}065\, \text{J}} \]

Solución: La energía mecánica total se conserva a lo largo de todo el movimiento: \[ E_m = E_p + E_c \] La energía mecánica total coincide con la energía potencial máxima, calculada anteriormente: \[ E_m = 0{,}065\, \text{J} \] Si el péndulo se encuentra a 10 cm (\(0{,}10\, \text{m}\)) de la posición de equilibrio, determinamos el ángulo \(\alpha'\): \[ \alpha' = \frac{\Delta s'}{L} = \frac{0{,}10}{3} \approx 0{,}033\, \text{rad} \] Calculamos la energía potencial en esta posición: \[ E_p = m g L (1 - \cos \alpha') \] \[ \cos(0{,}033) \approx 0{,}99945 \] \[ 1 - \cos(0{,}033) \approx 0{,}00055 \] \[ E_p = 1 \cdot 9{,}8 \cdot 3 \cdot 0{,}00055 = 0{,}016\, \text{J} \] La energía cinética es la diferencia entre la energía mecánica total y la energía potencial: \[ E_c = E_m - E_p = 0{,}065 - 0{,}016 = 0{,}049\, \text{J} \] \[ \boxed{ \begin{aligned} E_m &= 0{,}065\, \text{J} \\ E_p &= 0{,}016\, \text{J} \\ E_c &= 0{,}049\, \text{J} \end{aligned} } \] Por lo tanto, en la posición situada a 10 cm del punto de equilibrio, la energía mecánica es de \(0{,}065\, \text{J}\), la energía potencial es de \(0{,}016\, \text{J}\) y la energía cinética es de \(0{,}049\, \text{J}\).