Ejercicio - Radioactividad

Solución: La constante de desintegración se calcula mediante: \[ \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \] Donde \( T_{1/2} \) es el período de semidesintegración. Para ambos isótopos, la relación entre las constantes de desintegración es: \[ \frac{\lambda_{224}}{\lambda_{228}} = \frac{T_{1/2}^{228}}{T_{1/2}^{224}} \] El período de semidesintegración del \({}^{226}\text{Ra}\) es: \[ T_{1/2}^{228} = 5,76\, \text{años} = 5,76 \cdot 365\, \text{días} = 2102\, \text{días} \] El período de semidesintegración del \({}^{224}\text{Ra}\) es: \[ T_{1/2}^{224} = 3,66\, \text{días} \] La relación entre las constantes de desintegración es: \[ \frac{\lambda_{224}}{\lambda_{228}} = \frac{2102}{3,66} \approx 574 \] Esto significa que el \({}^{224}\text{Ra}\) se desintegra 574 veces más rápido que el \({}^{226}\text{Ra}\). \[ \textbf{Vida media:} \] La vida media \(\tau\) está relacionada con la constante de desintegración por: \[ \tau = \frac{1}{\lambda} \] Por lo tanto, la relación entre las vidas medias es: \[ \frac{\tau_{224}}{\tau_{228}} = \frac{\lambda_{228}}{\lambda_{224}} = \frac{1}{574} \] \[ \boxed{ \begin{aligned} \frac{\lambda_{224}}{\lambda_{228}} &\approx 574 \\ \frac{\tau_{224}}{\tau_{228}} &\approx \frac{1}{574} \end{aligned} } \]

Solución: La actividad (\(A\)) de un isótopo radiactivo se calcula mediante: \[ A = \lambda N \] donde \( N \) es el número de núcleos presentes. Para calcular \( N \) a partir de 1 g de isótopo: \[ N = \frac{m}{M} \cdot N_A \] donde: \[ m = 1\, \text{g} = 10^{-3}\, \text{kg} \] \[ M = \text{masa molar} \quad (M_{\text{Ra}} \approx 226\, \text{g/mol}) \] \[ N_A = 6,022 \cdot 10^{23}\, \text{mol}^{-1} \] Calculamos \( N \): \[ N = \frac{1}{226 \cdot 10^{-3}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \approx 2,66 \cdot 10^{21} \] Para las actividades: \[ A_{228} = \lambda_{228} N, \quad A_{224} = \lambda_{224} N \] Ya que \(\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}\): \[ \lambda_{228} = \frac{\ln 2}{2102 \cdot 86400\, \text{s}} \approx 3,8 \cdot 10^{-9}\, \text{s}^{-1} \] \[ \lambda_{224} = \frac{\ln 2}{3,66 \cdot 86400\, \text{s}} \approx 2,2 \cdot 10^{-6}\, \text{s}^{-1} \] Por lo tanto: \[ A_{228} = 3,8 \cdot 10^{-9} \cdot 2,66 \cdot 10^{21} \approx 1,0 \cdot 10^{13}\, \text{Bq} \] \[ A_{224} = 2,2 \cdot 10^{-6} \cdot 2,66 \cdot 10^{21} \approx 5,9 \cdot 10^{15}\, \text{Bq} \] \[ \textbf{Tiempo para que el número de núcleos se reduzca al 10\%:} \] \[ N = N_0 e^{-\lambda t} \quad \Rightarrow \quad e^{-\lambda t} = 0,1 \] \[ -\lambda t = \ln 0,1 = -2,3 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{2,3}{\lambda} \] \[ t_{228} = \frac{2,3}{3,8 \cdot 10^{-9}} \approx 6,0 \cdot 10^{8}\, \text{s} \approx 19\, \text{años} \] \[ t_{224} = \frac{2,3}{2,2 \cdot 10^{-6}} \approx 1,0 \cdot 10^{6}\, \text{s} \approx 11\, \text{días} \] \[ \boxed{ \begin{aligned} A_{228} &\approx 1,0 \cdot 10^{13}\, \text{Bq} \quad (\text{Ra-228}) \\ A_{224} &\approx 5,9 \cdot 10^{15}\, \text{Bq} \quad (\text{Ra-224}) \\ t_{228} &\approx 19\, \text{años} \\ t_{224} &\approx 11\, \text{días} \end{aligned} } \]