Ejercicio - Radioactividad

Ejercicio de Física nuclear

\( \textbf{Ejercicio.} \) El fósforo-32 es el isótopo más utilizado en la marcación de ADN para la investigación. Su período de desintegración es de 14,2 días.

a) Calcula la constante de desintegración y la vida media.

b) Determina la actividad inicial de una muestra que contiene 20 \(\mu\text{g}\) del radioisótopo.

c) Durante cuánto tiempo se puede usar en el laboratorio un lote de AMP (monofosfato de adenosina) antes de que su actividad radiactiva se reduzca al 1 %.

Solución de los Apartados

a) Calcula la constante de desintegración y la vida media.

Solución: La constante de desintegración \(\lambda\) se calcula como: \[ \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \] donde: \[ T_{1/2} = 14,2\, \text{días} \] \[ \lambda = \frac{\ln 2}{14,2} = \frac{0,693}{14,2} = 0,0488\, \text{días}^{-1} \] Para expresar la constante en unidades del SI (\(\text{s}^{-1}\)): \[ 1\, \text{día} = 86400\, \text{s} \] \[ 0,0488\, \text{días}^{-1} = \frac{0,0488}{86400}\, \text{s}^{-1} \approx 5,65 \cdot 10^{-7}\, \text{s}^{-1} \] \[ \textbf{Vida media:} \] La vida media \(\tau\) se calcula como: \[ \tau = \frac{1}{\lambda} \] \[ \tau = \frac{1}{0,0488\, \text{días}^{-1}} = 20,5\, \text{días} \] En segundos: \[ 20,5\, \text{días} = 20,5 \cdot 86400\, \text{s} = 1,77 \cdot 10^6\, \text{s} \] \[ \boxed{ \begin{aligned} \lambda &= 0,0488\, \text{días}^{-1} = 5,65 \cdot 10^{-7}\, \text{s}^{-1} \\ \tau &= 20,5\, \text{días} = 1,77 \cdot 10^6\, \text{s} \end{aligned} } \] Por lo tanto, la constante de desintegración es \( 0,0488\, \text{días}^{-1} \) y la vida media es de \( 20,5\, \text{días} \).

b) Determina la actividad inicial de una muestra que contiene 20 \(\mu\text{g}\) del radioisótopo.

Solución: Para determinar la actividad inicial de la muestra, primero calculamos el número de átomos de fósforo-32 presentes. La masa de la muestra es: \[ m = 20\, \mu\text{g} = 20 \cdot 10^{-6}\, \text{g} = 2 \cdot 10^{-5}\, \text{g} \] La masa molar del fósforo-32 es aproximadamente: \[ M = 32\, \text{g/mol} \] El número de átomos de fósforo-32 se calcula como: \[ N = \frac{m}{M} \cdot N_A = \frac{2 \cdot 10^{-5}}{32} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \] \[ N \approx 3,76 \cdot 10^{17}\, \text{átomos} \] La actividad se determina mediante: \[ A = \lambda N \] \[ \lambda = 5,65 \cdot 10^{-7}\, \text{s}^{-1} \] \[ A = 5,65 \cdot 10^{-7} \cdot 3,76 \cdot 10^{17} \] \[ A \approx 2,13 \cdot 10^{11}\, \text{Bq} \] \[ \boxed{A \approx 2,13 \cdot 10^{11}\, \text{Bq}} \] Por lo tanto, la actividad inicial de la muestra es aproximadamente \( 2,13 \cdot 10^{11}\, \text{Bq} \).

c) Durante cuánto tiempo se puede usar en el laboratorio un lote de AMP (monofosfato de adenosina) antes de que su actividad radiactiva se reduzca al 1 %.

Solución: Queremos determinar el tiempo que tarda en reducirse la actividad al \(1 \%\) de su valor inicial. La ley de desintegración radiactiva es: \[ N = N_0 e^{-\lambda t} \] \[ \frac{N}{N_0} = e^{-\lambda t} = \frac{1}{100} \] Tomamos logaritmos: \[ -\lambda t = \ln\left(\frac{1}{100}\right) = -\ln(100) = -4,605 \] \[ t = \frac{4,605}{\lambda} \] \[ \lambda = 0,0488\, \text{días}^{-1} \] \[ t = \frac{4,605}{0,0488} \approx 94\, \text{días} \] \[ \boxed{t \approx 94\, \text{días}} \] Por lo tanto, el tiempo que tarda la actividad en reducirse al \(1 \%\) es aproximadamente 94 días.