Ejercicio resuelto de Introducción a la óptica geométrica (1 de 2)

Solución: Para ver la moneda en el centro de la taza cuando está llena de agua, se consideran los datos de la taza: \[ \text{Altura} = 8\,\text{cm} \] \[ \text{Radio} = \frac{10\,\text{cm}}{2} = 5\,\text{cm} \] \(\textbf{Cálculo del ángulo de refracción:}\) El ángulo de refracción \(\theta_r\) se determina a partir de la tangente del ángulo en el triángulo formado por la altura y el radio: \[ \tan{\theta_r} = \frac{5}{8} \] \[ \theta_r = \arctan{\left(\frac{5}{8}\right)} \approx 32^\circ \] \(\textbf{Cálculo del ángulo de incidencia usando la Ley de Snell:}\) La Ley de Snell establece: \[ n_1 \sin{\theta_i} = n_2 \sin{\theta_r} \] donde: \[ n_1 = 1 \quad (\text{aire}) \] \[ n_2 = 1,33 \quad (\text{agua}) \] \[ \theta_r = 32^\circ \] Despejamos \(\theta_i\): \[ \sin{\theta_i} = n_2 \sin{\theta_r} \] \[ \sin{\theta_i} = 1,33 \sin{32^\circ} \] \[ \sin{\theta_i} \approx 1,33 \times 0,53 = 0,7 \] \[ \theta_i = \arcsin{0,7} \approx 45^\circ \] \(\textbf{Verificación sin agua:}\) Si no hay agua, no existe refracción y el rayo de luz continuaría su trayectoria recta con un ángulo de \(45^\circ\). \(\textbf{Conclusión:}\) El rayo de luz que parte de la moneda, en ausencia de agua, llegaría a un punto de la base de la taza situado a \(2\,\text{cm}\) del borde, motivo por el cual no se vería la moneda sin el agua. Por lo tanto, los ángulos son: \[ \text{Ángulo de refracción: } \theta_r \approx 32^\circ \] \[ \text{Ángulo de incidencia: } \theta_i \approx 45^\circ \]