Ejercicio resuelto de Introducción al electromagnetismo y a la relatividad especial (1 de 2)

Solución: \(\textbf{Datos:}\) \[ \Delta t = 38\,\mu s = 3,8 \cdot 10^{-5}\,\text{s} \] \[ t_0 = 86400\,\text{s} \quad (\text{un día}) \] \[ c = 2,9979 \cdot 10^8\,\text{m/s} \] \(\textbf{Relación entre tiempos propios y el factor relativista:}\) \[ \gamma = \frac{t}{t_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \] \[ 1 - \frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{t_0}{t}\right)^2 \] \[ \frac{v^2}{c^2} = 1 - \left(\frac{t_0}{t}\right)^2 \] \(\textbf{Como } t = t_0 + \Delta t \text{ y } \Delta t \ll t_0:\) \[ t^2 - t_0^2 \approx 2t_0 \Delta t \] \[ \frac{v^2}{c^2} = \frac{2t_0 \Delta t}{t_0^2} = \frac{2 \Delta t}{t_0} \] \[ v = \sqrt{\frac{2 \Delta t}{t_0}} \cdot c \] \(\textbf{Sustituimos valores:}\) \[ v = \sqrt{\frac{2 \cdot 3,8 \cdot 10^{-5}}{86400}} \cdot 2,9979 \cdot 10^8 \] \[ v = \sqrt{\frac{7,6 \cdot 10^{-5}}{86400}} \cdot 2,9979 \cdot 10^8 \] \[ v = \sqrt{8,8 \cdot 10^{-10}} \cdot 2,9979 \cdot 10^8 \] \[ v = 2,97 \cdot 10^{-5} \cdot 2,9979 \cdot 10^8 \approx 8900\,\text{m/s} \] \(\textbf{Conclusión:}\) \[ \text{La velocidad de los satélites GPS respecto a la superficie es aproximadamente } v = 8900\,\text{m/s}. \]