Ejercicio resuelto de Dinámica relativista (1 de 3)

Solución: \(\textbf{Datos:}\) \[ E_0 = 0,511\,\text{MeV} \quad (\text{energía en reposo del electrón}) \] \[ v = 0,6\,c \] \(\textbf{Factor de Lorentz:}\) \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,6)^2}} = \frac{1}{\sqrt{0,64}} = \frac{1}{0,8} = 1,25 \] \(\textbf{Masa relativista del electrón:}\) \[ m = \gamma m_0 = 1,25 \cdot 0,511\,\text{MeV} = 0,639\,\text{MeV} \] \(\textbf{Determinación de la velocidad para alcanzar la masa de un protón:}\) \[ m_p = 938,3\,\text{MeV} \] \[ \gamma = \frac{m_p}{m_e} = \frac{938,3}{0,511} \approx 1836 \] \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \] \[ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{\gamma} \] \[ 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{\gamma^2} \] \[ \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{\gamma^2} \] \[ \frac{v}{c} = \sqrt{1 - \frac{1}{(1836)^2}} \approx \sqrt{1 - 2,97 \cdot 10^{-7}} \approx 0,9999998 \] \[ v = 0,9999998 \cdot 3 \cdot 10^8 = 2,9979 \cdot 10^8\,\text{m/s} \] \(\textbf{Conclusiones:}\) - La masa relativista del electrón a \(0,6\,c\) es \(0,639\,\text{MeV}\). - Para que un electrón alcance la masa de un protón, debe moverse al \(99,99998\%\) de la velocidad de la luz.