Ejercicio resuelto de Dinámica relativista (2 de 3)

Solución: \(\textbf{Datos:}\) \[ m_0 c^2 = 938,3\,\text{MeV} \quad (\text{energía en reposo de un protón}) \] \[ E' = 5\,\text{MeV} \quad (\text{energía cinética adquirida}) \] \[ E = m c^2 = m_0 c^2 + E' = 938,3 + 5 = 943,3\,\text{MeV} \] \(\textbf{Cálculo de la masa relativista:}\) \[ m = \frac{E}{c^2} = \frac{943,3\,\text{MeV}}{c^2} \] El factor de Lorentz es: \[ \gamma = \frac{m}{m_0} = \frac{943,3}{938,3} = 1,005 \] \(\textbf{Cálculo de la velocidad:}\) \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \Rightarrow \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{\gamma} \] \[ 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{\gamma^2} \] \[ \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{\gamma^2} \] \[ \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{(1,005)^2} = 1 - \frac{1}{1,010025} \approx 1 - 0,990 = 0,01 \] \[ v = c \sqrt{0,01} = c \cdot 0,1 = 0,1\,c = 3 \cdot 10^8 \cdot 0,1 = 3 \cdot 10^7\,\text{m/s} \] Pero el resultado real, considerando la precisión: \[ v = c \sqrt{1 - \frac{1}{(1,005)^2}} = c \cdot 0,1028 \approx 3,08 \cdot 10^7\,\text{m/s} \] \(\textbf{Cálculo del momento relativista:}\) Usamos: \[ p c = \sqrt{E^2 - (m_0 c^2)^2} \] \[ E^2 - (m_0 c^2)^2 = 943,3^2 - 938,3^2 = (943,3 + 938,3)(943,3 - 938,3) \] \[ = (1881,6)(5) = 9408\,\text{MeV}^2 \] \[ p c = \sqrt{9408} \approx 97\,\text{MeV} \] \[ p = \frac{97\,\text{MeV} \cdot 1,602 \cdot 10^{-13}\,\text{J/MeV}}{3 \cdot 10^8\,\text{m/s}} \approx 5,18 \cdot 10^{-20}\,\text{kg m/s} \] \(\textbf{Cálculo alternativo de la velocidad usando el momento:}\) \[ v = \frac{p c^2}{E} = \frac{97\,\text{MeV} \cdot c}{943,3\,\text{MeV}} \approx 0,1028\,c = 3,1 \cdot 10^7\,\text{m/s} \] \(\textbf{Conclusiones:}\) - La masa relativista del protón es \(m = 943,3\,\text{MeV}/c^2\). - La velocidad final del protón es aproximadamente \(3,1 \cdot 10^7\,\text{m/s}\).