Ejercicio - Dinámica relativista

Solución: \(\textbf{Datos:}\) \[ \Delta V = 50 \cdot 10^6\,\text{V} = 50\,\text{MV} \] \[ \Delta r = 3200\,\text{m} \] \(\textbf{Suponemos un campo eléctrico uniforme:}\) \[ \vec{E} = -\frac{dV}{dr} \approx \frac{\Delta V}{\Delta r} \] \(\textbf{Cálculo del campo eléctrico medio:}\) \[ E = \frac{50 \cdot 10^6\,\text{V}}{3200\,\text{m}} = 15625\,\text{V/m} = 15,6\,\text{kV/m} \] \(\textbf{Conclusión:}\) \[ \text{El campo eléctrico medio aplicado a los electrones es de } 15,6\,\text{kV/m}. \]

Solución: \(\textbf{Datos:}\) \[ \Delta E = 50\,\text{MeV} = 50 \cdot 1,6 \cdot 10^{-13}\,\text{J} = 8 \cdot 10^{-12}\,\text{J} \] \[ m_0 = 9,1 \cdot 10^{-31}\,\text{kg} \] \[ c = 3 \cdot 10^8\,\text{m/s} \] \(\textbf{Energía total relativista:}\) \[ E = E_0 + \Delta E = m_0 c^2 + \Delta E \] \(\textbf{Energía en reposo:}\) \[ E_0 = m_0 c^2 = 9,1 \cdot 10^{-31} \cdot (3 \cdot 10^8)^2 = 8,2 \cdot 10^{-14}\,\text{J} \] \(\textbf{Energía total:}\) \[ E = 8,2 \cdot 10^{-14} + 8 \cdot 10^{-12} = 8,08 \cdot 10^{-12}\,\text{J} \] \(\textbf{Cálculo del factor de Lorentz:}\) \[ \gamma = \frac{E}{m_0 c^2} = \frac{8,08 \cdot 10^{-12}}{8,2 \cdot 10^{-14}} \approx 98,5 \] \(\textbf{Relación entre } \gamma \text{ y la velocidad:}\) \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \] \[ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{\gamma} \quad \Rightarrow \quad \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{\gamma^2} \] \[ \frac{v}{c} = \sqrt{1 - \frac{1}{(98,5)^2}} \approx \sqrt{1 - 1,03 \cdot 10^{-4}} = \sqrt{0,9999} \approx 0,99995 \] \(\textbf{Velocidad de los electrones:}\) \[ v \approx 0,99995\,c = 0,99995 \cdot 3 \cdot 10^8 \approx 3 \cdot 10^8\,\text{m/s} \] \(\textbf{Conclusión:}\) \[ \text{La velocidad de los electrones al extremo del acelerador es aproximadamente } 3 \cdot 10^8\,\text{m/s}. \]

Solución: \(\textbf{Datos:}\) \[ m_0 = 9,1 \cdot 10^{-31}\,\text{kg} \] \[ \gamma = 98,5 \] \(\textbf{Masa relativista:}\) \[ m = \gamma m_0 = 98,5 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} = 8,96 \cdot 10^{-29}\,\text{kg} \] \(\textbf{Conclusión:}\) \[ \text{La masa relativista de los electrones al final del acelerador es aproximadamente } 9 \cdot 10^{-29}\,\text{kg}. \]