Ejercicio - Orígenes de la física cuántica

Ejercicio de Relatividad y física cuántica

\(\textbf{Ejercicio.}\) Las observaciones de agujeros negros con el Event Horizon Telescope se realizaron con radiotelescopios en una longitud de onda de \(1,3\,\text{mm}\). Uno de los radiotelescopios utilizados fue el IRAM, situado en la cima de Veleta, en Sierra Nevada, que tiene un diámetro de \(30\,\text{m}\).

a) Encuentra la frecuencia (en GHz) y el período de la radiación observada.

b) Calcula la energía y el momento del fotón de esta radiación.

c) Los radiotelescopios captan una radiación de \(2 \cdot 10^{-17}\,\text{W/m}^2\) proveniente de la región del espacio alrededor del agujero negro de la galaxia Messier 87. Calcula la potencia recibida por el telescopio.

Solución de los Apartados

a) Encuentra la frecuencia (en GHz) y el período de la radiación observada.

Solución: \(\textbf{Datos:}\) \[ \lambda = 1,3\,\text{mm} = 1,3 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \] \[ c = 3 \cdot 10^8\,\text{m/s} \] \(\textbf{Frecuencia de la radiación:}\) \[ \nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \cdot 10^8\,\text{m/s}}{1,3 \cdot 10^{-3}\,\text{m}} = 2,3 \cdot 10^{11}\,\text{Hz} \] \(\textbf{Conversión a GHz:}\) \[ 1\,\text{GHz} = 10^9\,\text{Hz} \] \[ \nu = \frac{2,3 \cdot 10^{11}}{10^9} = 230\,\text{GHz} \] \(\textbf{Cálculo del período:}\) \[ T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{2,3 \cdot 10^{11}} \approx 4,34 \cdot 10^{-12}\,\text{s} = 4,34\,\text{ps} \] \(\textbf{Conclusión:}\) \[ \text{La frecuencia de la radiación es } 230\,\text{GHz}, \text{ y su período es aproximadamente } 4,34\,\text{ps}. \]

b) Calcula la energía y el momento del fotón de esta radiación.

Solución: \(\textbf{Datos:}\) \[ \nu = 2,3 \cdot 10^{11}\,\text{Hz} \] \[ h = 6,63 \cdot 10^{-34}\,\text{J\,s} \] \(\textbf{Energía del fotón:}\) \[ E = h \nu = 6,63 \cdot 10^{-34} \cdot 2,3 \cdot 10^{11} = 1,52 \cdot 10^{-22}\,\text{J} \] \(\textbf{Momento del fotón:}\) La relación energía-momento para un fotón es: \[ p = \frac{E}{c} \] \[ p = \frac{1,52 \cdot 10^{-22}}{3 \cdot 10^8} = 5,07 \cdot 10^{-31}\,\text{kg\,m/s} \] \(\textbf{Conclusiones:}\) \[ \text{La energía de cada fotón es } 1,52 \cdot 10^{-22}\,\text{J}. \] \[ \text{El momento de cada fotón es } 5,07 \cdot 10^{-31}\,\text{kg\,m/s}. \]

c) Los radiotelescopios captan una radiación de \(2 \cdot 10^{-17}\,\text{W/m}^2\) proveniente de la región del espacio alrededor del agujero negro de la galaxia Messier 87. Calcula la potencia recibida por el telescopio.

Solución: \(\textbf{Datos:}\) \[ I = 2 \cdot 10^{-17}\,\text{W/m}^2 \] \[ r = \frac{d}{2} = \frac{30}{2} = 15\,\text{m} \] \(\textbf{Área del radiotelescopio:}\) \[ A = \pi r^2 = \pi \cdot (15)^2 \approx \pi \cdot 225 = 706,9\,\text{m}^2 \] \(\textbf{Potencia recibida:}\) \[ P = I \cdot A = 2 \cdot 10^{-17} \cdot 706,9 = 1,41 \cdot 10^{-14}\,\text{W} \] \(\textbf{Conclusión:}\) \[ \text{La potencia recibida por el telescopio es } 1,4 \cdot 10^{-14}\,\text{W}. \]