Ejercicio - Efecto fotoeléctrico
Ejercicio de Relatividad y física cuántica
\(\textbf{Ejercicio.}\) Cuando se ilumina una superficie metálica con una radiación ultravioleta de longitud de onda de \(300\,\text{nm}\), el metal emite electrones con una energía cinética tan grande que, para frenarlos (anular la corriente), es necesario aplicar una diferencia de potencial de \(1,04\,\text{V}\).
a) Calcula la energía de los fotones incidentes y el trabajo de extracción de este metal.
b) A partir del balance de energía del efecto fotoeléctrico, deduce la expresión de la velocidad máxima de los fotoelectrones emitidos en función de su masa, la constante de Planck, la velocidad de la luz en el vacío, la longitud de onda de la luz incidente y el trabajo de extracción.
Solución de los Apartados
a) Calcula la energía de los fotones incidentes y el trabajo de extracción de este metal.
Solución: \(\textbf{Datos:}\) \[ \lambda = 300\,\text{nm} = 3 \cdot 10^{-7}\,\text{m} \] \[ h = 6,626 \cdot 10^{-34}\,\text{J\,s} \] \[ c = 3 \cdot 10^8\,\text{m/s} \] \[ e = 1,6 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \] \[ U = 1,04\,\text{V} \] \(\textbf{Cálculo de la energía del fotón:}\) \[ E = \frac{h c}{\lambda} = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{3 \cdot 10^{-7}} = 6,626 \cdot 10^{-19}\,\text{J} \] \(\textbf{Conversión a eV:}\) \[ 1\,\text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\,\text{J} \] \[ E = \frac{6,626 \cdot 10^{-19}}{1,6 \cdot 10^{-19}} = 4,13\,\text{eV} \] \(\textbf{Energía cinética máxima del electrón:}\) \[ E_c = e U = 1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 1,04 = 1,66 \cdot 10^{-19}\,\text{J} = 1,04\,\text{eV} \] \(\textbf{Trabajo de extracción:}\) \[ W = E - E_c = 4,13 - 1,04 = 3,09\,\text{eV} \] \[ W = 3,09 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} = 4,94 \cdot 10^{-19}\,\text{J} \] \(\textbf{Conclusión:}\) \[ \text{La energía de los fotones incidentes es } 4,13\,\text{eV}. \] \[ \text{El trabajo de extracción del metal es } 3,09\,\text{eV}. \]
b) A partir del balance de energía del efecto fotoeléctrico, deduce la expresión de la velocidad máxima de los fotoelectrones emitidos en función de su masa, la constante de Planck, la velocidad de la luz en el vacío, la longitud de onda de la luz incidente y el trabajo de extracción.
Solución: El balance de energía del efecto fotoeléctrico es: \[ E_\text{fotón} = W + E_c \] La energía cinética máxima del electrón es: \[ E_c = \frac{1}{2} m_e v_{\max}^2 \] La energía del fotón es: \[ E_\text{fotón} = \frac{h c}{\lambda} \] Sustituyendo: \[ \frac{h c}{\lambda} = W + \frac{1}{2} m_e v_{\max}^2 \] \(\textbf{Despejando la velocidad máxima:}\) \[ \frac{1}{2} m_e v_{\max}^2 = \frac{h c}{\lambda} - W \] \[ v_{\max}^2 = \frac{2}{m_e} \left(\frac{h c}{\lambda} - W\right) \] \[ v_{\max} = \sqrt{\frac{2}{m_e} \left(\frac{h c}{\lambda} - W\right)} \] \(\textbf{Conclusión:}\) \[ \boxed{v_{\max} = \sqrt{\frac{2}{m_e} \left(\frac{h c}{\lambda} - W\right)}} \] Esta expresión permite calcular la velocidad máxima de los fotoelectrones emitidos, en función de la masa \(m_e\), la constante de Planck \(h\), la velocidad de la luz \(c\), la longitud de onda de la luz incidente \(\lambda\) y el trabajo de extracción \(W\).