Ejercicio resuelto de Dualidad onda-partícula (1 de 2)

Solución: \(\textbf{Datos:}\) \[ \Delta V = 250\,\text{V} \] \[ e = 1,6 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \] \[ m_e = 9,1 \cdot 10^{-31}\,\text{kg} \] \[ h = 6,626 \cdot 10^{-34}\,\text{J\,s} \] \[ c = 3 \cdot 10^8\,\text{m/s} \] \(\textbf{Cálculo de la velocidad final del electrón:}\) La energía cinética adquirida por el electrón: \[ \frac{1}{2} m v^2 = e \Delta V \] \[ v = \sqrt{\frac{2 e \Delta V}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 250}{9,1 \cdot 10^{-31}}} \] \[ v = \sqrt{\frac{8 \cdot 10^{-17}}{9,1 \cdot 10^{-31}}} = \sqrt{8,79 \cdot 10^{13}} \approx 9,38 \cdot 10^6\,\text{m/s} \] \(\textbf{Comprobación relativista:}\) \[ \frac{v}{c} = \frac{9,38 \cdot 10^6}{3 \cdot 10^8} \approx 0,03 \ll 1 \] \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,03)^2}} = \frac{1}{\sqrt{0,999}} \approx 1,0005 \] \(\textbf{Conclusión:}\) \[ \text{La velocidad no es relativista porque } \gamma \approx 1 \] \(\textbf{Cálculo de la longitud de onda de De Broglie:}\) \[ p = m v = 9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 9,38 \cdot 10^6 = 8,54 \cdot 10^{-24}\,\text{kg\,m/s} \] \[ \lambda = \frac{h}{p} = \frac{6,626 \cdot 10^{-34}}{8,54 \cdot 10^{-24}} = 7,75 \cdot 10^{-11}\,\text{m} \] \(\textbf{Resultados finales:}\) \[ \text{Velocidad del electrón: } 9,38 \cdot 10^6\,\text{m/s} \] \[ \text{Longitud de onda de De Broglie: } 7,75 \cdot 10^{-11}\,\text{m} \] \[ \text{La partícula no se considera relativista.} \]