Ejercicio resuelto de Dualidad onda-partícula (2 de 2)

Solución: \(\textbf{Datos:}\) \[ \lambda_1 = 589\,\text{nm} = 5,89 \cdot 10^{-7}\,\text{m} \] \[ \lambda_2 = 179,76\,\text{nm} = 1,7976 \cdot 10^{-7}\,\text{m} \] \[ E_{c1} = 0,577\,\text{eV} = 0,577 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19}\,\text{J} \] \[ E_{c2} = 5,38\,\text{eV} = 5,38 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19}\,\text{J} \] \[ c = 3 \cdot 10^8\,\text{m/s} \] \(\textbf{Ecuaciones de Einstein para ambas situaciones:}\) \[ E_1 = \frac{h c}{\lambda_1} = W + E_{c1} \] \[ E_2 = \frac{h c}{\lambda_2} = W + E_{c2} \] \(\textbf{Restamos las ecuaciones para eliminar } W:\) \[ E_2 - E_1 = E_{c2} - E_{c1} = h c \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right) \] \(\textbf{Despejamos } h:\) \[ h = \frac{(E_{c2} - E_{c1})}{c \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right)} \] \[ h = \frac{(5,38 - 0,577) \cdot 1,602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}}{3 \cdot 10^8 \cdot \left( \frac{1}{1,7976 \cdot 10^{-7}} - \frac{1}{5,89 \cdot 10^{-7}} \right)} \] \(\textbf{Calculamos el denominador:}\) \[ \frac{1}{1,7976 \cdot 10^{-7}} - \frac{1}{5,89 \cdot 10^{-7}} = 5,56 \cdot 10^6 - 1,7 \cdot 10^6 = 3,86 \cdot 10^6\,\text{m}^{-1} \] \[ h = \frac{(4,803 \cdot 10^{-19})}{3 \cdot 10^8 \cdot 3,86 \cdot 10^6} = \frac{4,803 \cdot 10^{-19}}{1,158 \cdot 10^{15}} \approx 6,64 \cdot 10^{-34}\,\text{J\,s} \] \(\textbf{Cálculo del trabajo de extracción } W:\) Usamos: \[ W = \frac{h c}{\lambda_2} - E_{c2} \] \[ W = \frac{6,64 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{1,7976 \cdot 10^{-7}} - 5,38 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \] \[ W = \frac{1,992 \cdot 10^{-25}}{1,7976 \cdot 10^{-7}} - 8,62 \cdot 10^{-19} = 1,1 \cdot 10^{-18} - 8,62 \cdot 10^{-19} = 2,45 \cdot 10^{-19}\,\text{J} \] \[ W = \frac{2,45 \cdot 10^{-19}}{1,602 \cdot 10^{-19}} = 1,53\,\text{eV} \] \(\textbf{Conclusiones:}\) \[ \text{Constante de Planck: } h = 6,64 \cdot 10^{-34}\,\text{J\,s} \] \[ \text{Trabajo de extracción del material: } W = 1,53\,\text{eV} \]

Solución: \(\textbf{Datos:}\) \[ E_{c2} = 5,38\,\text{eV} = 5,38 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} = 8,62 \cdot 10^{-19}\,\text{J} \] \[ m_e = 9,1 \cdot 10^{-31}\,\text{kg} \] \[ h = 6,64 \cdot 10^{-34}\,\text{J\,s} \] \(\textbf{Velocidad del electrón:}\) \[ E_c = \frac{1}{2} m_e v^2 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{2 E_c}{m_e}} \] \[ v = \sqrt{\frac{2 \cdot 8,62 \cdot 10^{-19}}{9,1 \cdot 10^{-31}}} = \sqrt{\frac{1,724 \cdot 10^{-18}}{9,1 \cdot 10^{-31}}} \] \[ v = \sqrt{1,9 \cdot 10^{12}} = 1,38 \cdot 10^6\,\text{m/s} \] \(\textbf{Longitud de onda de De Broglie:}\) \[ \lambda = \frac{h}{m_e v} = \frac{6,64 \cdot 10^{-34}}{9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 1,38 \cdot 10^6} \] \[ \lambda = \frac{6,64 \cdot 10^{-34}}{1,26 \cdot 10^{-24}} = 5,26 \cdot 10^{-10}\,\text{m} = 0,526\,\text{nm} \] \(\textbf{Conclusión:}\) \[ \text{La longitud de onda de De Broglie del electrón es } 0,526\,\text{nm}. \]