Ejercicio - Dualidad onda-partícula
Ejercicio de Relatividad y física cuántica
\(\textbf{Ejercicio.}\) Si un determinado material es iluminado con luz de \(589\,\text{nm}\), se liberan electrones con una energía cinética de \(0,577\,\text{eV}\). Además, cuando se ilumina con luz de longitud de onda de \(179,76\,\text{nm}\), la energía cinética máxima de los electrones emitidos es de \(5,38\,\text{eV}\).
a) Calcula la constante de Planck y el trabajo de extracción del material.
b) Determina la longitud de onda de De Broglie del electrón con energía cinética máxima en el caso de que se ilumine el material con luz ultravioleta.
Solución de los Apartados
a) Calcula la constante de Planck y el trabajo de extracción del material.
Solución: \(\textbf{Datos:}\) \[ \lambda_1 = 589\,\text{nm} = 5,89 \cdot 10^{-7}\,\text{m} \] \[ \lambda_2 = 179,76\,\text{nm} = 1,7976 \cdot 10^{-7}\,\text{m} \] \[ E_{c1} = 0,577\,\text{eV} = 0,577 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19}\,\text{J} \] \[ E_{c2} = 5,38\,\text{eV} = 5,38 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19}\,\text{J} \] \[ c = 3 \cdot 10^8\,\text{m/s} \] \(\textbf{Ecuaciones de Einstein para ambas situaciones:}\) \[ E_1 = \frac{h c}{\lambda_1} = W + E_{c1} \] \[ E_2 = \frac{h c}{\lambda_2} = W + E_{c2} \] \(\textbf{Restamos las ecuaciones para eliminar } W:\) \[ E_2 - E_1 = E_{c2} - E_{c1} = h c \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right) \] \(\textbf{Despejamos } h:\) \[ h = \frac{(E_{c2} - E_{c1})}{c \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right)} \] \[ h = \frac{(5,38 - 0,577) \cdot 1,602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}}{3 \cdot 10^8 \cdot \left( \frac{1}{1,7976 \cdot 10^{-7}} - \frac{1}{5,89 \cdot 10^{-7}} \right)} \] \(\textbf{Calculamos el denominador:}\) \[ \frac{1}{1,7976 \cdot 10^{-7}} - \frac{1}{5,89 \cdot 10^{-7}} = 5,56 \cdot 10^6 - 1,7 \cdot 10^6 = 3,86 \cdot 10^6\,\text{m}^{-1} \] \[ h = \frac{(4,803 \cdot 10^{-19})}{3 \cdot 10^8 \cdot 3,86 \cdot 10^6} = \frac{4,803 \cdot 10^{-19}}{1,158 \cdot 10^{15}} \approx 6,64 \cdot 10^{-34}\,\text{J\,s} \] \(\textbf{Cálculo del trabajo de extracción } W:\) Usamos: \[ W = \frac{h c}{\lambda_2} - E_{c2} \] \[ W = \frac{6,64 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{1,7976 \cdot 10^{-7}} - 5,38 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \] \[ W = \frac{1,992 \cdot 10^{-25}}{1,7976 \cdot 10^{-7}} - 8,62 \cdot 10^{-19} = 1,1 \cdot 10^{-18} - 8,62 \cdot 10^{-19} = 2,45 \cdot 10^{-19}\,\text{J} \] \[ W = \frac{2,45 \cdot 10^{-19}}{1,602 \cdot 10^{-19}} = 1,53\,\text{eV} \] \(\textbf{Conclusiones:}\) \[ \text{Constante de Planck: } h = 6,64 \cdot 10^{-34}\,\text{J\,s} \] \[ \text{Trabajo de extracción del material: } W = 1,53\,\text{eV} \]
b) Determina la longitud de onda de De Broglie del electrón con energía cinética máxima en el caso de que se ilumine el material con luz ultravioleta.
Solución: \(\textbf{Datos:}\) \[ E_{c2} = 5,38\,\text{eV} = 5,38 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} = 8,62 \cdot 10^{-19}\,\text{J} \] \[ m_e = 9,1 \cdot 10^{-31}\,\text{kg} \] \[ h = 6,64 \cdot 10^{-34}\,\text{J\,s} \] \(\textbf{Velocidad del electrón:}\) \[ E_c = \frac{1}{2} m_e v^2 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{2 E_c}{m_e}} \] \[ v = \sqrt{\frac{2 \cdot 8,62 \cdot 10^{-19}}{9,1 \cdot 10^{-31}}} = \sqrt{\frac{1,724 \cdot 10^{-18}}{9,1 \cdot 10^{-31}}} \] \[ v = \sqrt{1,9 \cdot 10^{12}} = 1,38 \cdot 10^6\,\text{m/s} \] \(\textbf{Longitud de onda de De Broglie:}\) \[ \lambda = \frac{h}{m_e v} = \frac{6,64 \cdot 10^{-34}}{9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 1,38 \cdot 10^6} \] \[ \lambda = \frac{6,64 \cdot 10^{-34}}{1,26 \cdot 10^{-24}} = 5,26 \cdot 10^{-10}\,\text{m} = 0,526\,\text{nm} \] \(\textbf{Conclusión:}\) \[ \text{La longitud de onda de De Broglie del electrón es } 0,526\,\text{nm}. \]